Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(H\) là một điểm nằm trong tam giác \(ABC,\) \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(H\) song song với \(AB\) và \(CD.\) Mệnh đề nào sau đây đúng về thiết diện của \(\left( \alpha \right)\) với tứ diện?

Đáp án đúng là: A

Trong \(\left( {ABC} \right)\): qua \(H\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với \(AB\) và cắt \(BC,\,\,AC\) lần lượt tại \(M,\,\,N.\)

Trong \(\left( {ACD} \right)\): từ \(N\) kẻ \(NP\) song song với \(CD\,\,\left( {P \in CD} \right).\)

Trong \(\left( {ABD} \right)\): từ \(P\) kẻ \(PQ\) song song với \(AB\,\,\left( {Q \in BD} \right).\)

Ta có \(MN{\rm{//}}PQ\) (do cùng song song với \(AB\)) nên \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) đồng phẳng.

Ta có: \(AB{\rm{//}}MN;\,\,MN \subset \left( {MNPQ} \right) \Rightarrow AB{\rm{//}}\left( {MNPQ} \right);\)

\({\rm{CD//}}NP;\,\,NP \subset \left( {MNPQ} \right) \Rightarrow CD{\rm{//}}\left( {MNPQ} \right);\)

Hơn nữa \(H \in MN\) mà \(MN \subset \left( {MNPQ} \right)\) nên \(H \in \left( {MNPQ} \right).\)

Từ các kết quả trên ta có: \(\left( \alpha \right) \equiv \left( {MNPQ} \right).\)

Dễ dàng có được:

\(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN;\)

\(\left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = NP;\)

\(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = PQ;\)

\(\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = QM.\)

Suy ra thiết diện của \(\left( \alpha \right)\) với tứ diện \(ABCD\) là \(MNPQ.\)

Xét ba mặt phẳng \(\left( {ACD} \right),\,\,\left( {BCD} \right),\,\,\left( {MNPQ} \right)\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACD} \right) \cap \,\left( {BCD} \right) = CD\\\left( {ACD} \right) \cap \left( {MNPQ} \right) = NP\\\left( {BCD} \right) \cap \left( {MNPQ} \right) = QM\end{array} \right.\) và \(CD{\rm{//}}NP\) nên \(CD{\rm{//}}NP{\rm{//}}QM.\)

Xét tứ giác \(MNPQ\) có: \(MN{\rm{//}}PQ\) và \(NP{\rm{//}}QM\) nên \(MNPQ\) là hình bình hành.