(a) Cho \(\tan \alpha - \cot \alpha = 7\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{4}.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = \tan \alpha + \cot \alpha .\)
(b) Giải phương trình \(\tan 3x = \tan x.\)
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có:
\(\tan \alpha - \cot \alpha = 7 \Rightarrow {\left( {\tan \alpha - \cot \alpha } \right)^2} = {7^2}\)
\( \Rightarrow {\tan ^2}\alpha - 2\tan \alpha \cot \alpha + {\cot ^2}\alpha = 49 \Rightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = 51\) (do \(\tan \alpha \cot \alpha = 1\)).
\({P^2} = {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^2} = {\tan ^2}\alpha + 2\tan \alpha \cot \alpha + {\cot ^2}\alpha = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha + 2\)
\( = 51 + 2 = 53 \Rightarrow P = \pm \sqrt {53} .\)
Mặt khác, \(0 < \alpha < \frac{\pi }{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha > 0\\\cot \alpha > 0\end{array} \right.\) nên \(\tan \alpha + \cot \alpha > 0.\)
Vậy \[P = \sqrt {53} .\]
b) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}3x \ne 0\\{\rm{cos}}x \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Ta có: \(\tan 3x = \tan x\)\( \Leftrightarrow 3x = x + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
Kết hợp với điều kiện, ta có \(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Ta có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( {SAC} \right)\\O \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\)
b) Trong \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(AN\) và \(SO\)
Trong \(\left( {SBD} \right)\), \(ME\)cắt \(SD\) tại \(K\) mà \(ME \subset \left( {AMN} \right)\)
\( \Rightarrow K\) là giao điểm của \(\left( {AMN} \right)\) với \(SD\).
Xét tam giác \(SAC\) có: \(SO\) và \(AN\) là hai đường trung tuyến và \(SO \cap AN = E.\)
Nên \(E\) là trọng tâm tam giác \(SAC\).
Do đó \(SE = 2EO\) hay \(\frac{{SE}}{{EO}} = 2.\)
Mà \(\frac{{MS}}{{MB}} = 2\) (do \(MS = 2MB\)) nên \(\frac{{SE}}{{EO}} = \frac{{MS}}{{MB}}.\)
Nên theo định lí Thalés đảo trong tam giác \[SOB\] ta có: \(ME{\rm{//}}BO\) hay \(MK{\rm{//}}BD\) mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\).
Suy ra \(MK{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
Câu 2
3.
4.
5.
6.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc các mặt của hình lăng trụ tam giác.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
\(\left( {AHC'} \right).\)
\(\left( {AA'H} \right).\)
\(\left( {HAB} \right).\)
\(\left( {HA'C} \right).\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
\(\frac{3}{2}.\)
0.
\(\frac{6}{5}.\)
\( - 6.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
\(MN{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)
\(MN{\rm{//}}BD.\)
\(MN{\rm{//}}\left( {SAB} \right).\)
\(MN\) cắt \(BC.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập