Tính các giới hạn sau:

(a) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}};\)

(b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^3} - {x^2}} }}{{\sqrt {x - 1} + 1 - x}}.\)

Đáp án đúng là: C

Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc các mặt của hình lăng trụ tam giác.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}}.\)

Điều kiện xác định: \({x^3} - x \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right..\)

Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;0;1} \right\}.\)

Kết luận A, B, C sai vì: Hàm số đã cho không xác định tại \(x = - 1;\,\,x = 0;\,\,x = 1\) nên không liên tục tại các điểm đó.

Kết luận D đúng vì:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}} = \frac{{2.\frac{1}{2} - 1}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} - \frac{1}{2}}} = 0;\) \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{2.\frac{1}{2} - 1}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} - \frac{1}{2}}} = 0.\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right).\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}}\) liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\).