Cho \(\Delta PMN\) là hình đồng dạng phối cảnh của \(\Delta ABC\) với tâm \(O\) và tỉ số vị tự là 3 (hình vẽ).

 

a) Đúng.

Vì \(\Delta PMN\) là hình đồng dạng phối cảnh của \(\Delta ABC\) với tâm \(O\) và tỉ số vị tự là 3 nên ta có:

\(\frac{{MP}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}} = 3.\)

b) Sai.

\(\Delta MNP\) và \(\Delta ABC\) có: \(\frac{{MP}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}} = 3\) nên  (c.c.c). Suy ra: \(\widehat {ABC} = \widehat {NMP}.\)

c) Đúng.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{MP}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{MN + NP + MP}}{{AB + BC + AC}} = 3.\)

Do đó, chu vi tam giác \(MNP\) gấp 3 lần chu vi tam giác \(ABC.\)

d) Sai.

Gọi \(AI,\;\,PK\) lần lượt là đường cao trong các tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP.\)

\(\Delta PKM\) và \(\Delta AIB\) có: \(\widehat {AIB} = \widehat {PKM} = 90^\circ ,\;\,\widehat {ABI} = \widehat {PMK}.\) Do đó,  (g.g).

Do đó, \(\frac{{PK}}{{AI}} = \frac{{MP}}{{AB}} = 3.\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AI \cdot BC.\)

Diện tích tam giác \(MNP\) là: \({S_{MNP}} = \frac{1}{2}KP \cdot MN.\)

Ta có: \(\frac{{{S_{MNP}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}KP \cdot MN}}{{\frac{1}{2}AI \cdot BC}} = \frac{{KP}}{{AI}} \cdot \frac{{MN}}{{BC}} = 3 \cdot 3 = 9.\)

Vậy diện tích tam giác \(MNP\) gấp 9 lần diện tích tam giác \(ABC.\)