Điều tra tiền lương hằng tháng của 100 công nhân tại phân xưởng \(A\) cho kết quả như sau:

Tiền lương (triệu đồng)	5	6	7	8	9	9,5
Tần số	26	34	20	10	5	5

 

Giá trị mốt của mẫu số liệu trên là

Ta phân tích được: \[\overrightarrow {AL} = \frac{b}{{b + c}}\overrightarrow {AB} + \frac{c}{{b + c}}\overrightarrow {AC} \]

\[\overrightarrow {CM} = \frac{{\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} }}{2} = \frac{{\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} }}{2}\]

Theo giả thiết: \[AL \bot CM \Leftrightarrow \overrightarrow {AL} .\overrightarrow {CM} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} } \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow b{c^2} + b{c^2}\cos A - 2c{b^2}\cos A - 2c{b^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {c - 2b} \right)\left( {1 + \cos A} \right) = 0 \Rightarrow c = 2b\,\,\left( {do\,\,\cos A > - 1} \right)\]

Khi đó: \[C{M^2} = \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{2}\]

\[A{L^2} = \frac{1}{9}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{9}\left( {A{B^2} + A{C^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{2}{9}\left( {9{b^2} - {a^2}} \right)\]

\[\frac{{CM}}{{AL}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{C{M^2}}}{{A{L^2}}} = \frac{9}{4}.\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{9{b^2} - {a^2}}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {a^2} = 3{b^2}\]

Do đó, \[\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{b^2} + {{\left( {2b} \right)}^2} - 3{b^2}}}{{2b \cdot 2b}} = \frac{1}{2}\].

Gọi \(C\) là vị trí ngọn hải đăng, từ \(C\) kẻ \(CH\) vuông góc với đường thẳng \(AB\) tại \(H\). Khi đó \(CH\) là khoảng cách từ ngọn hải đăng tới bờ biển. Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:

Vì \(\widehat {CBH}\) là góc ngoài tại đỉnh \(B\) của tam giác \(ABC\) nên \(\widehat {CBH} = \widehat {CAB} + \widehat {ACB}\).

Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {CBH} - \widehat {CAB} = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ \).

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {CAB}}}\)\( \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin \widehat {CAB}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{20 \cdot \sin 50^\circ }}{{\sin 20^\circ }} \approx 44,8\).

Tam giác \(CBH\) vuông tại \(H\) nên ta có:

\(CH = BC\sin \widehat {CBH} = 44,8 \cdot \sin 70^\circ \approx 42,1\).

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng 42,1 m.