Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho các điểm \(M\left( {5;\,\,3} \right),\,\,N\left( {x;\,\,y} \right)\), \(P\left( {x - 4;y + 1} \right)\). Xác định \(x,\,y\) để \(P\) là trung điểm của \(MN\).

Đáp án đúng là: A

Vì hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng nên \(\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ \).

Do đó, \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 2 \cdot 8 \cdot \cos 180^\circ  =  - 16\).

Đáp án đúng là: C

Vì hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\) nên hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường.

Phương án  A: \(\overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {OB} \) suy ra \(\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0\) nên đáp án A đúng, loại A.

Phương án  B: \(\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OC}  =  - OA \cdot OC =  - O{A^2}\)

và \(\frac{1}{2}\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {AC}  =  - \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AC =  - \frac{1}{2}OA \cdot 2OA =  - O{A^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {AC}  =  - O{A^2}\) nên đáp án B đúng, loại B.

Phương án  C và D:  \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ  = AB \cdot AB\sqrt 2  \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\).

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  =  - AB \cdot DC =  - A{B^2}\), \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AD}  = AC \cdot AD \cdot \cos 45^\circ  = AB\sqrt 2  \cdot AB \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  \ne \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD} \), \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AD} \) nên chọn C và loại D.