Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {3;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( { - 2;\,5} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng

Đáp án đúng là: C

Vì hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\) nên hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường.

Phương án  A: \(\overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {OB} \) suy ra \(\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0\) nên đáp án A đúng, loại A.

Phương án  B: \(\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OC}  =  - OA \cdot OC =  - O{A^2}\)

và \(\frac{1}{2}\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {AC}  =  - \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AC =  - \frac{1}{2}OA \cdot 2OA =  - O{A^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {AC}  =  - O{A^2}\) nên đáp án B đúng, loại B.

Phương án  C và D:  \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ  = AB \cdot AB\sqrt 2  \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\).

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  =  - AB \cdot DC =  - A{B^2}\), \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AD}  = AC \cdot AD \cdot \cos 45^\circ  = AB\sqrt 2  \cdot AB \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  \ne \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD} \), \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AD} \) nên chọn C và loại D.

a) Ta có: \[AC \bot DB \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\]

\[\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  - A{B^2} + \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AB} \]

Ta lại có: \[\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0\]

Và \[A{B^2} = {h^2},\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AD}  = BC \cdot AD = ab\] .

Do đó, \[\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0 - {h^2} + ab - 0 = ab - {h^2}\].

Vậy \[\overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {BD}  \Leftrightarrow ab - {h^2} = 0\].

b) Vì \(I\) là trung điểm \(CD\) nên \[\overrightarrow {AI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\] và \[\overrightarrow {BI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} } \right)\].

Khi đó ta có: \[\widehat {AIB} = 90^\circ  \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {BI}  = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} } \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\]

Mà \[\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + {\overrightarrow {BC} ^2} = 0 + B{C^2} = {b^2}\]; \[\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = ab - {h^2}\];

\[\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BC}  = AD \cdot BC = ab\]; \[\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD} \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BA}  + {\overrightarrow {AD} ^2} = 0 + A{D^2} = {a^2}\].

Do đó, ta có: \[\widehat {AIB} = 90^\circ  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {h^2} + 2ab = 0 \Leftrightarrow a + b = h.\]