Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng, biết \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 8\). Giá trị \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) bằng

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[2\overrightarrow {a\,}  - \overrightarrow b  = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = \left( { - 1} \right)\overrightarrow x  =  - \overrightarrow x \], do đó vectơ \[2\overrightarrow {a\,}  - \overrightarrow b \] ngược hướng với vectơ \[\overrightarrow {x\,} \]. Đáp án A sai.

Lại có: \[ - \,\overrightarrow {a\,}  + \frac{1}{2}\overrightarrow b  = \frac{1}{2} \cdot \left( { - 2\,\overrightarrow {a\,}  + \overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow x \], do đó vectơ \[ - \,\overrightarrow {\,a\,\,}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {\,b\,} \] cùng hướng với vectơ \[\overrightarrow {x\,} \]. Đáp án B đúng.

Đáp án C và D sai vì ta không thể biểu diễn được các vectơ \[4\,\overrightarrow {a\,}  + 2\overrightarrow {b\,} \] và \[ - \,\overrightarrow {a\,}  + \overrightarrow b \] dưới dạng \(k\overrightarrow x \). 

Đáp án đúng là: A

Xét chữ nhật\(ABCD\) có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \) (áp dụng quy tắc hình bình hành).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\).

Từ định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ABC\), suy ra

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}  = a\sqrt {13} \).