Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x\) là \({x_0} = \frac{m}{n}\pi \) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản, \(m,n \in \mathbb{N}*\). Tính giá trị của biểu thức \(m + 2n\).

Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) nên cosα < 0.

Ta có \({\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = \frac{{24}}{{25}}\). Suy ra \(\cos \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\).

Ta có \(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = \frac{{23}}{{25}}\) và \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha .\cos \alpha  =  - \frac{{4\sqrt 6 }}{{25}}\).

Do đó \(\cot 2\alpha  = \frac{{\cos 2\alpha }}{{\sin 2\alpha }} =  - \frac{{23\sqrt 6 }}{{24}}\).

Khi đó \(a = 23;b = 24\). Vậy \(a + b = 47\).

Trả lời: 47.

Vì \(x \in \left[ {\pi ;2\pi } \right]\) nên \(\sin x < 0\) mà \(\sin x = \frac{1}{5}\) nên phương trình vô nghiệm trên đoạn \(\left[ {\pi ;2\pi } \right]\). Chọn B.