(1,0 điểm). Trong cuộc thi học sinh giỏi môn Toán lớp \(10\) có \(4\) học sinh tham gia với điểm đạt được của các học sinh là các số tự nhiên khác nhau không nhỏ hơn \(10\) và không lớn hơn \(20\). Biết rằng điểm trung bình, số trung vị của \(4\) học sinh trên đều bằng \(14\) và có khoảng biến thiên bằng \(4\). Xác định điểm thi của \(4\) học sinh trên.

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm các học sinh đạt được lần lượt là \(a;\,b;\,c;\,d\,\left( {a < b < c < d} \right)\) và \(a,\,b,\,c,\,d \in \mathbb{N}\)

Ta có số trung vị: \({Q_2} = \frac{{b + c}}{2} = 14 \Rightarrow b + c = 28\)

Mà \(\overline x = 14 \Rightarrow a + b + c + d = 56 \Rightarrow a + d = 28\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < b < c}\\{b + c = 28}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10 < b < 14}\\{2b < 28}\end{array}} \right.\) hay \(10 < b < 14\) mà \(b \in \mathbb{N} \Rightarrow b \in \left\{ {11;\,12;\,13} \right\}\)

+ Nếu \(b = 11\) thì \(c = 17\), mà \(10 \le a < b,a \in \mathbb{N} \Rightarrow a = 10;d = 18\)

Khi đó điểm các em đạt được lần lượt là \(10;\,\,\,11;\,\,\,17;\,\,18\)

+ Nếu \(b = 12\) thì \(c = 16\) mà \(10 \le a < b,a \in \mathbb{N} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 10 \Rightarrow d = 18\\a = 11 \Rightarrow d = 17\end{array} \right.\)  

Khi đó điểm các học sinh đạt được có thể là là: \(10;\,\,\,12;\,\,\,16;\,\,18\) hoặc \(11;\,\,\,12;\,\,\,16;\,\,\,17\).

+ Nếu \(b = 13\) thì \(c = 15\), mà \(10 \le a < b,a \in \mathbb{N} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 10 \Rightarrow d = 18\\a = 11 \Rightarrow d = 17\\a = 12 \Rightarrow d = 16\end{array} \right.\)

Khi đó có ba mẫu số liệu thỏa đề bài có giá trị là: \(10;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,18\) hoặc \(11;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,17\) hoặc \(12;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,16\).

Vì khoảng biến thiên bằng \(4\) nên số điểm các em đạt được là: \(12;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,16\).