Cho hình bình hành \(ABCD\), với \(AB = 2\), \(AD = 1\), \(\widehat {BAD} = 60^\circ \). Tích vô hướng \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) bằng

Hướng dẫn giải

a) Do \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\) và \(AM\) là trung tuyến của tam giác \[ABC\].  

Hơn nữa, \(G\) là trọng tâm của tam giác \[ABC\] nên \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \).  

Do đó, \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

b) Ta có: \(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}.{a^2} + \frac{1}{3}.a.a.{\rm{cos}}60^\circ \)

\( = \frac{1}{2}{a^2}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

\[\vec a + \vec b = \vec b + \vec a\]; \[\left( {\vec a + \vec b} \right) + \vec c = \vec a + \left( {\vec b + \vec c} \right)\]; \[\vec a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 + \vec a = \vec a\].

Vậy đáp án A, B, C đúng; đáp án D sai.