Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(E,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,AE\). Tìm các số \(p\) và \(q\) sao cho \(\overrightarrow {DN} = p\overrightarrow {AB} + q\overrightarrow {AC} \). 

Theo tính chất góc ngoài của tam giác \(ABT\) tại đỉnh \(B\) ta có: \(\widehat {TBN} = \widehat {ATB} + \widehat {TAB}\).

Suy ra \(\widehat {ATB} = \widehat {TBN} - \widehat {TAB} = 39,6^\circ - 27,4^\circ = 12,2^\circ \).

Áp dụng định lí sin cho tam giác \(TAB\) ta có: \(\frac{{TB}}{{\sin \widehat {TAB}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ATB}}} \Rightarrow TB = \frac{{AB \cdot \sin \widehat {TAB}}}{{\sin \widehat {ATB}}}\).

Xét tam giác vuông \(TBN\) ta có:

\(TN = TB \cdot \sin \widehat {TBN} = \frac{{AB \cdot \sin \widehat {TAB} \cdot \sin \widehat {TBN}}}{{\sin \widehat {ATB}}} = \frac{{1\,\,536 \cdot \sin 27,4^\circ \cdot \sin 39,6^\circ }}{{\sin 12,2^\circ }} \approx 2\,\,132,14\).

Vậy chiều cao của ngọn núi xấp xỉ 2 132,14 m.

Diện tích hình chữ nhật bên trong khung ảnh (không bao gồm viền) là 7 . 13 = 91 (cm²).

Vì độ rộng viền xung quanh là \(x\) cm nên \(x > 0\) và kích thước của khung ảnh là

\(\left( {7 + 2x} \right)\,{\rm{cm}}\,\, \times \,\,\left( {13 + 2x} \right)\)cm.

Diện tích viền khung ảnh là: \(\left( {7 + 2x} \right)\left( {13 + 2x} \right) - 91 = 4{x^2} + 40x\) (cm²).

Theo bài ra ta có: \(4{x^2} + 40x \le 44\).

Giải bất phương trình trên ta được \(x \in \left[ { - 11;\,\,1} \right]\). Do \(x > 0\) nên \(x \in \left( {0;\,\,1} \right]\).

Vậy độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là 1 cm.