Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 5\) và \(d = 3\). Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng ?

Đáp án đúng là: B

Gọi \({x_1};{x_2};{x_3};...;{x_{20}}\) là doanh thu bán hàng trong 20 ngày xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó: \({x_1};{x_2} \in \left[ {5;7} \right)\);

\({x_3};...;{x_9} \in \left[ {7;9} \right)\);

\({x_{10}};...;{x_{16}} \in \left[ {9;11} \right)\);

\({x_{17}};...;{x_{19}} \in \left[ {11;13} \right)\);

\({x_{20}} \in \left[ {13;15} \right)\).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {9;11} \right)\).

Khi đó \(n = 20;{n_m} = 7;C = 9;{u_m} = 9;{u_{m + 1}} = 11\).

Ta có \({Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{3 \cdot 20}}{4} - 9}}{7} \cdot \left( {11 - 9} \right) \approx 10,71 \approx 11\).

Gọi ba số cần tìm là \[{u_1},{\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_3}\] với \({u_1} \ne {u_2} \ne {u_3} \ne 0\).

Vì \[{u_1},{\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_3}\] tạo thành cấp số cộng với công sai \(d \ne 0\) nên \[{u_2} = {u_1} + d,{\rm{ }}{u_3} = {u_1} + 2d\].

Hơn nữa, \[{u_1} + {u_2} + {u_3} = 6 \Leftrightarrow {u_1} + \left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 2d} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} + d = 2\].

Lại có \[{u_2},{\rm{ }}{u_1},{\rm{ }}{u_3}\] tạo thành cấp số nhân hay \[{u_1} + d,{\rm{ }}{u_1},{\rm{ }}{u_1} + 2d\] tạo thành cấp số nhân, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{{u_1}}}{{{u_1} + d}} = \frac{{{u_1} + 2d}}{{{u_1}}}\) \[ \Leftrightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 2d} \right) = u_1^2\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + d + d} \right) = u_1^2 \Leftrightarrow 2\left( {2 + 2 - {u_1}} \right) = u_1^2\]\[ \Leftrightarrow u_1^2 + 2{u_1} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_1} = - 4\end{array} \right.\].

Với \({u_1} = 2\), suy ra \[d = 0\]: không thỏa mãn.

Với \({u_1} = - 4\), suy ra \(d = 6\). Vậy ba số cần tìm là \( - 4,{\rm{ }}2,{\rm{ }}8\).