II. Tự luận (3 điểm)

(1 điểm). Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên là nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án đúng là: C

Vì hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\) nên hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường.

Phương án A: \(\overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OB} \) suy ra \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = 0\) nên đáp án A đúng, loại A.

Phương án B: \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} = - OA \cdot OC = - O{A^2}\)

và \(\frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AC} = - \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AC = - \frac{1}{2}OA \cdot 2OA = - O{A^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AC} = - O{A^2}\) nên đáp án B đúng, loại B.

Phương án C và D: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ = AB \cdot AB\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\).

\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = - AB \cdot DC = - A{B^2}\), \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} = AC \cdot AD \cdot \cos 45^\circ = AB\sqrt 2 \cdot AB \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} \), \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} \) nên chọn C và loại D.

a) Ta có: \[AC \bot DB \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\]

\[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} - A{B^2} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} \]

Ta lại có: \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\]

Và \[A{B^2} = {h^2},\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} = BC \cdot AD = ab\] .

Do đó, \[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0 - {h^2} + ab - 0 = ab - {h^2}\].

Vậy \[\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow ab - {h^2} = 0\].

b) Vì \(I\) là trung điểm \(CD\) nên \[\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\] và \[\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right)\].

Khi đó ta có: \[\widehat {AIB} = 90^\circ \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {BI} = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\]

Mà \[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + {\overrightarrow {BC} ^2} = 0 + B{C^2} = {b^2}\]; \[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = ab - {h^2}\];

\[\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} = AD \cdot BC = ab\]; $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BA}+{\overrightarrow{AD}}^2=0+A{D}^2=a^2$

Do đó, ta có: \[\widehat {AIB} = 90^\circ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {h^2} + 2ab = 0 \Leftrightarrow a + b = h.\]