Cho \(\widehat {AOB} = 120^\circ \), tia \(OC\) nằm trong góc \(AOB\) sao cho \(\widehat {BOC} = 30^\circ \). Khi đó:        

Từ \(\frac{{a + b}}{{c + d}} = \frac{{b + c}}{{d + a}}\) suy ra \(\frac{{a + b}}{{b + c}} = \frac{{c + d}}{{d + a}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{{a + b}}{{b + c}} = \frac{{c + d}}{{d + a}} = \frac{{a + b + c + d}}{{b + c + d + a}} = 1\]

Do đó \(a + b = b + c\) nên \(a = c\).

Gọi \(x,y,z\) lần lượt là số máy in của các phân xưởng thứ nhất, thứ hai, thứ ba.

Tổng số máy của ba phân xưởng là \(x + y + z = 57\).

Vì số ngày hoàn thành công việc tỉ lệ nghịch với số máy in nên ta có:

\(2x = 4y = 5z\) suy ra \(\frac{{2x}}{{20}} = \frac{{4y}}{{20}} = \frac{{5z}}{{20}}\) hay \(\frac{x}{{10}} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{{10}} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4} = \frac{{x + y + z}}{{10 + 5 + 4}} = \frac{{57}}{{19}} = 3\)

Suy ra \(x = 3.10 = 30\); \(y = 3.5 = 15\); \(z = 3.4 = 12\).

Vậy số máy in của ba phân xưởng lần lượt là \(30;15;12\) (máy in).