Cho hình chóp \[SABCD\] có đáy \(ABCD\) là hình thang với các cạnh đáy là \(AB\) và \(CD\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điềm của các cạnh \(AD\) và \(BC\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\). Biết tứ giác tạo bởi các giao tuyến của \((IJG)\) và các mặt hình chóp là một hình bình hành, \(AB = 6a\). Khi đó, độ dài cạnh \(CD\) bằng

Chọn B

Vì \[IJ\] là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(IJ{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\) và \(IJ = \frac{{AB + CD}}{2}\)

Do \(IJ{\rm{//}}AB\) và \(G \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right) = d\) (với \(d\) là đường thẳng đi qua \(G{\rm{//}}AB\) )

Gọi \(M;N\) lần lượt là giao điểm của \(d\) và \(SA;SB\)

Khi đó \(\left( {IJG} \right) \cap \left( {SAD} \right) = MI\); \(\left( {IJG} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MN\); \(\left( {IJG} \right) \cap \left( {SBC} \right) = NJ\);

\(\left( {IJG} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = IJ\)

Do đó tứ giác tạo bởi các giao tuyến của \((IJG)\) và các mặt hình chóp là tứ giác \(MNJI\)

Ta lại có \(MN{\rm{//}}IJ \Rightarrow MNJI\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow MN = IJ\)

Gọi \(Q\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow S;G;Q\) thẳng hàng và \(\frac{{SG}}{{SQ}} = \frac{2}{3}\)

Theo hệ quả Talet và định lý Talet ta có: \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SG}}{{SQ}} = \frac{2}{3}\)

Thay \(AB = 6a\) \( \Rightarrow MN = 4a\) \( \Rightarrow IJ = 4a\)

Lại có \(2IJ = AB + CD\) \( \Rightarrow CD = 2IJ - AB = 2.4a - 6a = 2a\).