(1.0 điểm) Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thang, \[AB\] song song \[CD\] và \[AB < CD\]. Gọi \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm \[SC\], \[SD\].

a) Chứng minh \[MN\] song song \[AB\].

b) Tìm giao điểm của đường thẳng \[DM\] với mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\].

Chọn B

Vì \[IJ\] là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(IJ{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\) và \(IJ = \frac{{AB + CD}}{2}\)

Do \(IJ{\rm{//}}AB\) và \(G \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right) = d\) (với \(d\) là đường thẳng đi qua \(G{\rm{//}}AB\) )

Gọi \(M;N\) lần lượt là giao điểm của \(d\) và \(SA;SB\)

Khi đó \(\left( {IJG} \right) \cap \left( {SAD} \right) = MI\); \(\left( {IJG} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MN\); \(\left( {IJG} \right) \cap \left( {SBC} \right) = NJ\);

\(\left( {IJG} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = IJ\)

Do đó tứ giác tạo bởi các giao tuyến của \((IJG)\) và các mặt hình chóp là tứ giác \(MNJI\)

Ta lại có \(MN{\rm{//}}IJ \Rightarrow MNJI\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow MN = IJ\)

Gọi \(Q\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow S;G;Q\) thẳng hàng và \(\frac{{SG}}{{SQ}} = \frac{2}{3}\)

Theo hệ quả Talet và định lý Talet ta có: \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SG}}{{SQ}} = \frac{2}{3}\)

Thay \(AB = 6a\) \( \Rightarrow MN = 4a\) \( \Rightarrow IJ = 4a\)

Lại có \(2IJ = AB + CD\) \( \Rightarrow CD = 2IJ - AB = 2.4a - 6a = 2a\).