Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\); \(Q\) là điểm thuộc cạnh \(SC\) sao cho \(\frac{{SQ}}{{SC}} = \frac{1}{3}.\)

a)  Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MSC} \right)\) và \(\left( {BDS} \right).\)

b) Gọi \(R\), \(P\) lần lượt là giao điểm của \(\left( {MNQ} \right)\) với \(SB\) và \(SD.\) Tính \(t = \frac{{{S_{PQ{\rm{R}}}}}}{{{S_{MNPQ{\rm{R}}}}}}\).

a) Trong mặt phẳng \((ABCD)\): gọi \[J = CM \cap BD\].

Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MSC} \right)\) và \(\left( {BDS} \right)\) là \[SJ\].

b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\); \(E\) là giao điểm của \(MN\) và \(AC\); \(I\) là giao điểm của \(EQ\) và \(SO.\)

Do \(MN\,\,{\rm{//}}\,\,BD\) nên giao tuyến \(\left( {MNQ} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là đường thẳng \(d\) qua \(I\) và song song với \(BD\). \(R,\) \(P\) lần lượt là các giao điểm của \(d\) với \(SB\) và \(SD.\)

Gọi \(K\) trên cạnh \(SO\) sao cho \(\frac{{SK}}{{SO}} = \frac{1}{3}.\)

Khi đó \(KQ\,\,{\rm{//}}\,\,OC \Rightarrow KQ\,\,{\rm{//}}\,\,EO.\)

Ta có \(\frac{{KQ}}{{OC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{KQ}}{{OE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{IQ}}{{IE}} = \frac{{KI}}{{I{\rm{O}}}} = \frac{2}{3}.\)

Ngoài ra \(\frac{{SK}}{{SO}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{{PR}}{{BD}} = \frac{3}{5};\frac{{MN}}{{BD}} = \frac{1}{2}.\)

Gọi \({h_1}\), \({h_2}\) lần lượt là chiều cao của \(\Delta PQR\) kẻ từ \(Q\) và hình thang \(MNPR.\) Khi đó \(\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}} = \frac{{IQ}}{{IE}} = \frac{2}{3}.\)

Do đó \(\frac{{{S_{PQR}}}}{{{S_{MNPR}}}} = \frac{{\frac{1}{2}{h_1}.PR}}{{\frac{1}{2}{h_2}.\left( {MN + PR} \right)}} = \frac{4}{{11}} \Rightarrow t = \frac{4}{{15}}.\)