Giải các phương trình sau:

a) \(\left( {\frac{1}{2}x - 1} \right)\left( {3 + 5x} \right) = 0.\)

b) \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\)

Gọi \(x\) (đồng) và \(y\) (đồng) lần lượt là giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé 1 lượt \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)

Do giá vé 1 lượt rẻ hơn giá vé khứ hồi là \[70{\rm{ }}000\] đồng nên ta có phương trình:

\(x - y = 70\,\,000.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Do trong đoàn \(40\) người chỉ có \(5\) người mua vé cáp treo \(1\) lượt cho lượt xuống nên đã có \(40 - 5 = 35\) người mua vé cáp treo khứ hồi.

Khi đó, số tiền cần trả để mua \(35\) vé cáp treo khứ hồi và \(5\) vé cáp treo 1 lượt là: \(35x + 5y\) (đồng).

Theo bài, cả đoàn khách du lịch này đã chi ra \[8{\rm{ }}450{\rm{ }}000\] đồng để mua vé nên ta có phương trình:

\(35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000.\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 70\,\,000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình \(\left( 1 \right)\) với \(5,\) ta được hệ phương trình mới là: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 5y = 350\,\,000\\35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

\(40x = 8\,\,800\,\,000,\) suy ra \(x = 220\,\,000\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 220\,\,000\) vào phương trình \(\left( 1 \right),\) ta được:

\(220\,\,000 - y = 70\,\,000,\) suy ra \(y = 150\,\,000\) (thỏa mãn).

Do đó hệ phương trình trên có nghiệm là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {220\,\,000;\,\,150\,\,000} \right).\)

Vậy giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé cáp treo 1 lượt lần lượt là \(200\,\,000\) đồng và \(150\,\,000\) đồng.

Đặt: \(BC = x\,\,\left( {\rm{m}} \right);\) \(AC = AB + BC = 500 + x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Xét \(\Delta ACD\) vuông tại \(C,\) ta có: \[CD = AC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CAD} = \left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ .\]

Xét \(\Delta BCD\) vuông tại \(C,\) ta có: \(CD = BC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CBD} = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \).

Do đó, ta có: \(\;\left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ  = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \)

\(500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ  + x \cdot {\rm{tan}}34^\circ  = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \)

\(\;x \cdot {\rm{tan}}38^\circ  - x \cdot {\rm{tan}}34^\circ  = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ \)

\(\;x \cdot \left( {{\rm{tan}}38^\circ  - {\rm{tan}}34^\circ } \right) = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ \)

\(\;x = \frac{{500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ }}{{{\rm{tan}}38^\circ  - {\rm{tan}}34^\circ }} \approx 3\,\,158,5\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\)

Suy ra \(CD = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ  \approx 3\,\,158,5 \cdot {\rm{tan}}38^\circ  \approx 2468\,\,({\rm{m}}).\)

Vậy ngọn núi cao khoảng \(2\,\,468\) mét.