Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right)\).
a) Viết các tỉ số lượng giác của góc \(B.\)
b) Cho \(AC = 16{\rm{\;cm}},\,\,BC = 20{\rm{\;cm}}.\) Giải tam giác \(ABC\) (làm tròn số đo góc đến phút).
c) Kẻ đường cao \(AH.\) Gọi \(M\) là hình chiếu của \(H\) lên \(AB,\) \(K\) là hình chiếu của \(H\) lên \(AC.\) Chứng minh rằng \(BM + CK = BC\left( {{{\cos }^3}B + {{\sin }^3}B} \right).\)
a) Viết các tỉ số lượng giác của góc \(B.\)
b) Cho \(AC = 16{\rm{\;cm}},\,\,BC = 20{\rm{\;cm}}.\) Giải tam giác \(ABC\) (làm tròn số đo góc đến phút).
c) Kẻ đường cao \(AH.\) Gọi \(M\) là hình chiếu của \(H\) lên \(AB,\) \(K\) là hình chiếu của \(H\) lên \(AC.\) Chứng minh rằng \(BM + CK = BC\left( {{{\cos }^3}B + {{\sin }^3}B} \right).\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có:
\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}},\,\,\cos B = \frac{{AB}}{{BC}},\)
\(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}},\,\,\cot B = \frac{{AB}}{{AC}}.\)
b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore, ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
Suy ra \(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {20^2} - {16^2} = 144.\) Do đó \(AB = 12{\rm{\;cm}}.\)
Theo câu a, ta có: \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}.\) Từ đó suy ra \(\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8'.\)
Lại có: \(\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {C\,} = 90^\circ - \widehat {B\,} \approx 90^\circ - 53^\circ 8' \approx 36^\circ 52'.\)
Vậy \(AB = 12{\rm{\;cm}},\,\,\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8',\,\,\widehat {C\,} \approx 36^\circ 52'.\)
c) Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H,\) ta có: \(\cos B = \frac{{BH}}{{AB}}.\)
Xét \(\Delta MBH\) vuông tại \(M,\) ta có: \(\cos B = \frac{{BM}}{{BH}}.\)
Ta có: \({\cos ^3}B = \cos B \cdot \cos B \cdot \cos B = \frac{{AB}}{{BC}} \cdot \frac{{BH}}{{AB}} \cdot \frac{{BM}}{{BH}} = \frac{{BM}}{{BC}}.\)
Chứng minh tương tự, ta cũng có: \[{\cos ^3}C = \cos C \cdot \cos C \cdot \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} \cdot \frac{{CH}}{{AC}} \cdot \frac{{CK}}{{CH}} = \frac{{CK}}{{BC}}.\]
Lại có \(\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ \) nên \(\cos C = \sin B,\) suy ra \[{\sin ^3}B = \frac{{CK}}{{BC}}.\]
Do đó \({\cos ^3}B + {\sin ^3}B = \frac{{BM}}{{BC}} + \frac{{CK}}{{BC}} = \frac{{BM + CK}}{{BC}}.\)
Suy ra \(BM + CK = BC\left( {{{\cos }^3}B + {{\sin }^3}B} \right).\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
![Tại hai điểm cách nhau \[1\,\,{\rm{km}}\] trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là \[40^\circ \] và \[32^\circ \] \((A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng) (như hình vẽ). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/blobid0-1764082271.png)
Lời giải
Đặt \(BC = x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).
![Tại hai điểm cách nhau \[1\,\,{\rm{km}}\] trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là \[40^\circ \] và \[32^\circ \] \((A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng) (như hình vẽ). (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/blobid1-1764082300.png)
Khi đó \(AC = BC + 1 = x + 1\,\,\left( {{\rm{km}}} \right).\)
Xét \[\Delta ADC\] vuông tại \[C\] có
\[CD = BC \cdot \tan 40^\circ = x\tan 40^\circ & \left( 1 \right)\]
Xét \[\Delta BDC\] vuông tại \[C\] có
\[CD = AC \cdot \tan 32^\circ = \left( {x + 1} \right)\tan 32^\circ & \left( 2 \right)\]Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[x\tan 40^\circ = \left( {x + 1} \right)\tan 32^\circ \]
\[x\tan 40^\circ = x\tan 32^\circ + \tan 32^\circ \]
\[x\left( {\tan 40^\circ - \tan 32^\circ } \right) = \tan 32^\circ \]
\[x = \frac{{\tan 32^\circ }}{{\tan 40^\circ - \tan 32^\circ }} \approx 2,45\,\,\left( {{\rm{km}}} \right).\]
Vậy ngọn núi cao khoảng \[2,45{\rm{ km}}.\]
Lời giải
a) \[\left( {3x + 2} \right)\left( {1 - x} \right) = 0\]
\(3x + 2 = 0\) hoặc \(1 - x = 0\)
\(3x = - 2\) hoặc \(x = 1\)
\(x = \frac{{ - 2}}{3}\) hoặc \(x = 1\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \frac{{ - 2}}{3};\,\,x = 1.\)b) Điều kiện xác định \(x \ne 0;\,\,x \ne 3.\)
\(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}\)
\(\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}\)
\(\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3\)
\({x^2} + 3x = 3 + x - 3\)
\({x^2} + 2x = 0\)
\(x\left( {x + 2} \right) = 0\)
\(x = 0\) hoặc \(x + 2 = 0\)
\(x = 0\) (không thỏa mãn) hoặc \(x = - 2\) (thỏa mãn).
Vậy nghiệm phương trình đã cho là \(x = - 2\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập