Câu hỏi:

26/11/2025 46

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ $\left( {AB < AC} \right)$.

a) Viết các tỉ số lượng giác của góc $B.$

b) Cho $AC = 16{\rm{\;cm}},\,\,BC = 20{\rm{\;cm}}.$ Giải tam giác $ABC$ (làm tròn số đo góc đến phút).

c) Kẻ đường cao $AH.$ Gọi $M$ là hình chiếu của $H$ lên $AB,$ $K$ là hình chiếu của $H$ lên $AC.$ Chứng minh rằng $BM + CK = BC\left( {{{\cos }^3}B + {{\sin }^3}B} \right).$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có:

$Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ $\left( {AB < AC} \right)$. (ảnh 1)$

$\sin B = \frac{{AC}}{{BC}},\,\,\cos B = \frac{{AB}}{{BC}},$

$\tan B = \frac{{AC}}{{AB}},\,\,\cot B = \frac{{AB}}{{AC}}.$

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

Suy ra $A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {20^2} - {16^2} = 144.$ Do đó $AB = 12{\rm{\;cm}}.$

Theo câu a, ta có: $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}.$ Từ đó suy ra $\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8'.$

Lại có: $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ $, suy ra $\widehat {C\,} = 90^\circ - \widehat {B\,} \approx 90^\circ - 53^\circ 8' \approx 36^\circ 52'.$

Vậy $AB = 12{\rm{\;cm}},\,\,\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8',\,\,\widehat {C\,} \approx 36^\circ 52'.$

c) Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H,$ ta có: $\cos B = \frac{{BH}}{{AB}}.$

Xét $\Delta MBH$ vuông tại $M,$ ta có: $\cos B = \frac{{BM}}{{BH}}.$

Ta có: ${\cos ^3}B = \cos B \cdot \cos B \cdot \cos B = \frac{{AB}}{{BC}} \cdot \frac{{BH}}{{AB}} \cdot \frac{{BM}}{{BH}} = \frac{{BM}}{{BC}}.$

Chứng minh tương tự, ta cũng có: \[{\cos ^3}C = \cos C \cdot \cos C \cdot \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} \cdot \frac{{CH}}{{AC}} \cdot \frac{{CK}}{{CH}} = \frac{{CK}}{{BC}}.\]

Lại có $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ $ nên $\cos C = \sin B,$ suy ra \[{\sin ^3}B = \frac{{CK}}{{BC}}.\]

Do đó ${\cos ^3}B + {\sin ^3}B = \frac{{BM}}{{BC}} + \frac{{CK}}{{BC}} = \frac{{BM + CK}}{{BC}}.$

Suy ra $BM + CK = BC\left( {{{\cos }^3}B + {{\sin }^3}B} \right).$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tại hai điểm cách nhau \[1\,\,{\rm{km}}\] trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là \[40^\circ \] và \[32^\circ \] $(A,\,\,B,\,\,C$ thẳng hàng) (như hình vẽ). Tính chiều cao của ngọn núi (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

$Tại hai điểm cách nhau \[1\,\,{\rm{km}}\] trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là \[40^\circ \] và \[32^\circ \] $(A,\,\,B,\,\,C$ thẳng hàng) (như hình vẽ). (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $BC = x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

$Tại hai điểm cách nhau \[1\,\,{\rm{km}}\] trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là \[40^\circ \] và \[32^\circ \] $(A,\,\,B,\,\,C$ thẳng hàng) (như hình vẽ). (ảnh 2)$

Khi đó $AC = BC + 1 = x + 1\,\,\left( {{\rm{km}}} \right).$

Xét \[\Delta ADC\] vuông tại \[C\] có

\[CD = BC \cdot \tan 40^\circ = x\tan 40^\circ & \left( 1 \right)\]

Xét \[\Delta BDC\] vuông tại \[C\] có

\[CD = AC \cdot \tan 32^\circ = \left( {x + 1} \right)\tan 32^\circ & \left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[x\tan 40^\circ = \left( {x + 1} \right)\tan 32^\circ \]

\[x\tan 40^\circ = x\tan 32^\circ + \tan 32^\circ \]

\[x\left( {\tan 40^\circ - \tan 32^\circ } \right) = \tan 32^\circ \]

\[x = \frac{{\tan 32^\circ }}{{\tan 40^\circ - \tan 32^\circ }} \approx 2,45\,\,\left( {{\rm{km}}} \right).\]

Vậy ngọn núi cao khoảng \[2,45{\rm{ km}}.\]

Câu 2

Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ $5\,\,000$ bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe. Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất $6\,\,000$ bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ đi như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại đi nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bước tối thiểu mà mục tiêu đề ra hay chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hàng ngày của hai người không đổi)

Xem đáp án

Lời giải

Gọi \[x,{\rm{ }}y\] (bước) lần lượt là số bước mà anh Sơn và chị Hà đi bộ trong 1 phút\[\left( {x,{\rm{ }}y \in \mathbb{N}*;\,\,x > y} \right).\]

Trong 2 phút, anh Sơn đi được $2x$ (bước); chị Hà đi được $2y$ (bước).

Nếu đi cùng trong 2 phút thì anh Sơn đi nhiều hơn chị Hà 20 bước nên

$2x - 2y = 20$ hay $x - y = 10 & \left( 1 \right)$

Trong 3 phút anh Sơn đi được $3x$ (bước)

Trong 5 phút chị Hà đi được $5y$ (bước)

Do chị Hà đi trong 5 phút thì nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên

\[5y - 3x = 160\] hay \[ - 3x + 5y = 160 & & \left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $3,$ ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x - 3y = 30\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right..$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: $2y = 190$ nên $y = 95$ (thỏa mãn).

Thay $y = 95$ vào phương trình thứ nhất của hệ ban đầu, ta được:

\[x - 95 = 10\] suy ra $x = 10 + 95 = 105$ (thỏa mãn).

Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước anh Sơn đi là $105 \cdot 60 = 6\,\,300$ (bước)

Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước chị Hà đi là $95 \cdot 60 = 5\,\,700$ (bước)

Vậy anh Sơn đạt được mục tiêu đề ra, còn chị Hà thì không đạt mục tiêu đề ra.

Câu 3