Nghiệm của phương trình \(\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \) có dạng \[x = - \frac{\pi }{m} + \frac{{k\pi }}{n}\], với \(k \in \mathbb{Z}\) và \(m\), \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Khi đó \(m - n\) bằng

Chọn A

Phương trình \(\sin 2x = m - 2\)  có nghiệm khi \( - 1 \le m - 2 \le 1 \Leftrightarrow 1 \le m \le 2,m\in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Có 3 giá trị cần tìm.

Biến đổi \(y\,\, = \,1 - {\sin ^2}x + 2\sin x + 2 =  - {\sin ^2}x + 2\sin x + 3\).

Đặt \(t\, = \,\sin x\) với \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\)Ta được hàm số \(y\,\, = \, - {t^2} + 2t + 3\).

Lập bảng biến thiên của hàm số \(y\,\, = \, - {t^2} + 2t + 3\) trên \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Kết luận \(Maxy = 4\) khi \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).

\(Min\,y = 0\) khi \(\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \).