Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x + 3\sin x + 3\). Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right]\). Biểu thức \(8M + m\) bằng

Chọn A

Phương trình \(\sin 2x = m - 2\)  có nghiệm khi \( - 1 \le m - 2 \le 1 \Leftrightarrow 1 \le m \le 2,m\in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Có 3 giá trị cần tìm.

Biến đổi \(y\,\, = \,1 - {\sin ^2}x + 2\sin x + 2 =  - {\sin ^2}x + 2\sin x + 3\).

Đặt \(t\, = \,\sin x\) với \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\)Ta được hàm số \(y\,\, = \, - {t^2} + 2t + 3\).

Lập bảng biến thiên của hàm số \(y\,\, = \, - {t^2} + 2t + 3\) trên \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Kết luận \(Maxy = 4\) khi \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).

\(Min\,y = 0\) khi \(\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \).