(0,5 điểm) Tìm \(m\) để phương trình \(\left( {2\cos x + 1} \right).\left( {\sin 2x + 2\cos x - m} \right) = 3 - 4{\sin ^2}x\) có ba nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\).

\(\begin{array}{l}\left( {2\cos x + 1} \right).\left( {\sin 2x + 2\cos x - m} \right) = 3 - 4{\sin ^2}x\;\;\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right).\left( {\sin 2x - m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x =  - \frac{1}{2}\\\sin 2x = m - 1\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình \(\cos x =  - \frac{1}{2}\) có một nghiệm \(x = \frac{{2\pi }}{3}\) thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\)

Đặt \(t = 2x\;,\;x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;2\pi } \right]\),

Phương trình \(\left( 2 \right)\) trở thành \(\sin t = m - 1\;\;\left( 3 \right)\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\) thì phương trình \(\left( 2 \right)\)phải có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\) và khác nghiệm \(x = \frac{{2\pi }}{3}\)

\( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\) và khác nghiệm \(x = \frac{{4\pi }}{3}\)

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \sin t\) với \(t \in \left[ {0;2\pi } \right]\)

Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\) và khác nghiệm \(x = \frac{{4\pi }}{3}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < m - 1 < 1\\\left\{ \begin{array}{l} - 1 < m - 1 < 0\\m - 1 \ne  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < m < 2\\\left\{ \begin{array}{l}0 < m < 1\\m \ne 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\).