An tiết kiệm theo hình thức như sau: Ngày đầu tiên bỏ ống heo \(1000\) đồng. Trong các ngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống nhiều hơn ngày trước \(1000\) đồng. Hỏi ngày thứ 89, An có bao nhiêu tiền tiết kiệm?

a) Trong \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \[O = AC \cap BD \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

Ta có  \[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

Suy ra \[SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)}\\{AD\parallel BC}\\{AD \subset \left( {SAD} \right);BC \subset \left( {SBC} \right)\,}\end{array}} \right.\]

Suy ra \[Sx = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\] với \[Sx\parallel AD\parallel BC\]

b) Ta thấy \[SA \subset \left( {SAD} \right)\]

Trong \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \[E = AD \cap MN \Rightarrow E \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\]

Lại có \[P \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\]

Suy ra \[PE = \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\]

Trong \[\left( {SAD} \right)\] gọi \[I = SA \cap PE\]

Mà \[PE \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow I = SA \cap \left( {MNP} \right)\]

c) Xét tam giác SAD có : \[I,\,P,E\] thẳng hàng và lần lượt thuộc SA,SD,AD

Theo định lý Menelaus ta có \[\frac{{IS}}{{IA}}.\frac{{PD}}{{PS}}.\frac{{EA}}{{ED}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{IS}}{{IA}}.1.\frac{{EA}}{{ED}} = 1\]

Lại có DE song song BC, suy ra \[\frac{{DE}}{{MC}} = \frac{{ND}}{{NC}} = 1 \Rightarrow DE = MC \Rightarrow DE = \frac{1}{2}DA \Rightarrow \frac{{EA}}{{ED}} = 3\]

Khi đó ta có \[\frac{{IS}}{{IA}}.1.3 = 1 \Rightarrow \frac{{IS}}{{IA}} = \frac{1}{3}\].

Chọn B