Cho hình chóp \(S.ABCD\) có tứ giác \(ABCD\) là hình thang cạnh đáy \(AD,\,BC\) thỏa mãn \(AD = 2BC\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt thuộc cạnh \(SA,SB,SC\) sao cho \(MA = MS;\,NS = 3NB;\,PS = 2PC\) (tham khảo hình vẽ sau).

 

Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) cắt \(SD\) tại \(Q\). Biết \(\frac{{QS}}{{QD}} = \frac{a}{b}\) (với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính \(S = {a^2} + 2{b^2}\)

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 2;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 3\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {5f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]\) bằng

Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm ứng với nửa khoảng nào dưới đây?

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}\) ta thu được kết quả là

Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\)có tứ giác \(ABCD\) là hình thang đáy \(AB,\,CD\) thỏa mãn \(AB = 2CD\). Trên các cạnh \(AA',BB',\,CC'\) lần lượt lấy các điểm \(M,N,K\) sao cho \(MA = MA';\,NB = 2NB';\,,KC = 3KC'\).

a) Chứng minh rằng \(\left( {ABB'A'} \right)\,\,{\rm{//}}\,\,\left( {CDD'C'} \right)\). Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\) với \(\left( {CDD'C'{\kern 1pt} } \right)\).

b) Gọi \(H\) là giao điểm mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\) với \(DD'\). Tính tỉ số \(\frac{{HD}}{{HD'}}\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây

Tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {4\cos 2x + m} \right) = 8{\sin ^2}x - m - 3\) có \(10\) nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right]\) bằng