Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây

 

Tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {4\cos 2x + m} \right) = 8{\sin ^2}x - m - 3\) có \(10\) nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right]\) bằng

Đặt \(t = 4co2x + m\) được phương trình \(f\left( t \right) = 1 - t\)

Từ đồ thị hai hàm số suy ra phương trình \(f\left( t \right) = 1 - t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 1\\t = 3\end{array} \right.\) .

Ta đưa bài toán về tìm \(m\) để các phương trình \(\left[ \begin{array}{l}4\cos 2x + m = - 1\\4\cos 2x + m = 1\\4\cos 2x + m = 3\end{array} \right.\) có \(10\) nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right]\).

Đặt \(u = 2x\) thì các phương trình \(\left[ \begin{array}{l}\cos u = \frac{{ - m - 1}}{4}\left( 1 \right)\\\cos u = \frac{{ - m + 1}}{4}\left( 2 \right)\\\cos u = \frac{{ - m + 1}}{4}\left( 3 \right)\end{array} \right.\) có \(10\) nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\). Ta xét:

+ Phương trình \(\cos u = \frac{{ - m - 1}}{4}\) có 4 nghiệm thuộc \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) khi \( - 1 \le \frac{{ - m - 1}}{4} \le 0\)

                          \( - 3 \le - m \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 3 \Rightarrow m = - 1;0;1;2;3\).

+ Phương trình \(\cos u = \frac{{ - m + 1}}{4}\) có 4 nghiệm khác nghiệm của \(\left( 1 \right)\) thuộc \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) khi \( - 1 < \frac{{ - m + 1}}{4} < 0 \Leftrightarrow - 5 < - m < - 1 \Leftrightarrow 1 < m < 5 \Rightarrow m = 1;2;3;4\).

 + Phương trình \(\cos u = \frac{{ - m + 1}}{4}\) có 2 nghiệm thuộc \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) khi \(0 < \frac{{ - m + 3}}{4} < 1 \Leftrightarrow - 3 < - m < 1 \Leftrightarrow - 1 < m < 3 \Rightarrow m = 0;1;2\).

   Vậy \(m = - 1;0;1;2;3;4\)