Giả sử nhiệt độ\(T\)(độ C) của một loại đồ uống được xác định theo công thức: \(T = 22 + 50{e^{\frac{{ - 1}}{8}t}},t \ge 0\) trong đó \(t\) (phút) là khoảng thời gian tính từ lúc pha chế đồ uống đó xong. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu phút kể từ lúc pha chế xong thì nhiệt độ của đồ uống đó là 45°C (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

a) \(m = {\log _{ab}}a = \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {ab} \right)}} = \frac{1}{{1 + {{\log }_a}b}} < 1\).

b) Có \(4m + n = 4{\log _{ab}}a + {\log _{\sqrt[4]{{ab}}}}b\)\( = 4{\log _{ab}}a + 4{\log _{ab}}b\)\( = 4{\log _{ab}}\left( {ab} \right) = 4\).

c) Ta có \(n = {\log _{\sqrt[4]{{ab}}}}b = \frac{4}{{{{\log }_b}\left( {ab} \right)}} = \frac{4}{{1 + {{\log }_b}a}}\).

Khi đó \(S = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}\)\( = 1 + {\log _a}b + \frac{{1 + {{\log }_b}a}}{4} = \frac{5}{4} + {\log _a}b + \frac{{{{\log }_b}a}}{4} \ge \frac{5}{4} + 2\sqrt {{{\log }_a}b \cdot \frac{{{{\log }_b}a}}{4}}  = \frac{9}{4}\).

d) \(\frac{n}{{4m}} = \frac{{4{{\log }_{ab}}b}}{{4{{\log }_{ab}}a}} = {\log _a}b\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\14 - x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\x < 14\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 14\).

Ta có \({\log _2}\left( {2x - 1} \right) < {\log _2}\left( {14 - x} \right)\)\( \Leftrightarrow 2x - 1 < 14 - x\)\( \Leftrightarrow 3x < 15 \Leftrightarrow x < 5\).

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là \(\frac{1}{2} < x < 5\).

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).

Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên.

Trả lời: 4.