Tìm \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x = 1\\\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \ne 1\,.\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

- Khi \(x \ne 1\) thì \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\) là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,1} \right),(1; + \infty )\) nên liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,1} \right)\) và \(\left( {1;\, + \infty } \right)\).

- Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x = 1\), ta có:

+ \[f\left( 1 \right) = 2 + m\], \[\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,1} \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,1} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3\].

- Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \) hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\)

Û \[\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\] Û \[m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1\].

Vậy với \(m = 1\) thì hàm số đã cho liên tục tại \(x = 1\).