Biết \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x}}{{5x}} = \frac{a}{b}\], trong đó \(a\), \[I = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {{{\tan }^5}x{\rm{d}}x = } } \int {\frac{{{{\sin }^5}x}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^5}x}}{\rm{d}}x} \] là các số nguyên và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = a + b\).

Chọn A

Ta có \(AD\,{\rm{//}}\,BC,AD = 2BC,AC \cap BD = O \Rightarrow \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{{OB}}{{OD}} = \frac{1}{2}\).

Mà \(MD = 2MS \Rightarrow \frac{{MS}}{{MD}} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(\frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{MS}}{{MD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow OM\,{\rm{//}}\,SB\), mà \(SB \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(OM\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\).

a. Ta có \[\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\], \[\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{2}{3}.\]\[ \Rightarrow \]\[MN\]//\[AB\]\[ \Rightarrow MN//\left( {ABCD} \right).\]

b. Ta có \[\left( \alpha \right)\parallel AB\] và \[BC\] suy ra \[\left( \alpha \right)\parallel \left( {ABCD} \right).\]

Giả sử \[\left( \alpha \right)\] cắt các mặt bên \[\left( {SAB} \right),\,\,\left( {SBC} \right),\,\,\left( {SCD} \right),\,\,\left( {SDA} \right)\] lần lượt tại các điểm M, \[N,\,\,P,\,\,Q\] với \[N \in SB,\,\,P \in SC,\,\,Q \in SD\,\]suy ra \[\left( \alpha \right) \equiv \left( {MNPQ} \right)\,.\]

Khi đó \[MN\]//\[AB\]\[ \Rightarrow \,\,\,\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{2}{3}\,.\]

Tương tự, ta có được \[\frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{QM}}{{DA}} = \frac{2}{3}\] và \[MNPQ\] là hình vuông.

Suy ra \[{S_{MNPQ}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}{S_{ABCD}} = \frac{4}{9}{S_{ABCD}} = \frac{4}{9}.6.6 = 16.\]