Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác \[ABC\] thỏa mãn \[AB = AC = 4,\] \[\widehat {BAC} = 30^\circ \]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] song song với \[\left( {ABC} \right)\], mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua điểm \[M\] trên cạnh \[SA\] sao cho \[SM = 2MA\] và cắt các cạnh \[SB,SC\]lần lượt tại \[P,N\]. Khi đó diện tích tam giác \[MNP\]bằng bao nhiêu?

Chọn D

Diện tích tam giác \[ABC\] là \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.4.4.\sin 30^\circ = 4\].

Gọi \[\,\,P,N\] lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \[\left( P \right)\] và các cạnh \[SB,\,\,SC\].

Vì \[\left( P \right)\]\({\rm{//}}\)\[\left( {ABC} \right)\] nên theoo định lí Talet, ta có \[\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{2}{3}\].

Khi đó tam giác \[MNP\] đồng dạng với tam giác \[ABC\] theo tỉ số \[k = \frac{2}{3}\].

Vậy \[{S_{\Delta MNP}} = {k^2}.{S_{\Delta ABC}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}.4 = \frac{{16}}{9}\].