Cho 4 số thực $a$, $b$, $c$, $d$ khác 0 thỏa mãn $a + b + c + d \ne 0$ và

$\frac{{2a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + 2b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2d}}{d}$.

Tìm giá trị của biểu thức $M$, biết $M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Ta có

$\frac{{2a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2\;b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2\;d}}{{\;d}}$

$\frac{{2a + b + c + d}}{a} - 1 = \frac{{a + 2\;b + c + d}}{b} - 1 = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} - 1 = \frac{{a + b + c + 2\;d}}{{\;d}} - 1$

$\frac{{2a + b + c + d - a}}{a} = \frac{{a + 2\;b + c + d - b}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d - c}}{c} = \frac{{a + b + c + 2\;d - d}}{{\;d}}$

$\frac{{a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + d}}{{\;d}}$ $\left( 1 \right)$

Vì $a + b + c + d \ne 0$ nên từ $\left( 1 \right)$ suy ra: $\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{{\;d}}$ hay $a = b = c = d$.

Với $a$, $b$, $c$, $d$ khác 0, thay $b = a$; $c = a$ và $d = a$ vào biểu thức $M$ ta được:

$M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}} = \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$.

Vậy $M = 4$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BE = BA$, trên tia $BA$ lấy điểm $F$ sao cho $BF = BC$. Kẻ $BD$ là phân giác của $\widehat {ABC}\,\,\left( {D \in AC} \right)$. Chứng minh rằng:

a) $DE \bot BC$;

b) $AD < DC$;

c) $\Delta ADF = \Delta EDC.$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABD$ và \[\Delta EBD\] có

$BE = BA$ (gt); $\widehat {ABD} = \widehat {EBD}$ (vì $BD$ là tia phân giác $\widehat {ABE}$); cạnh $BD$ chung.

Do đó $\Delta ABD = \Delta EBD$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat {BAD} = \widehat {BED} = 90^\circ $ nên $DE \bot BC$.

b) Xét tam giác \[ECD\] vuông tại \[E\] nên cạnh huyền \[DC > DE\].

Mà \[DE = AD\] (vì $\Delta ABD = \Delta EBD$) nên $AD < DC.$

c) Ta có $BF = BC$ mà $BE = BA$ nên $AF = EC$.

Xét \[\Delta ADF\] và \[\Delta EDC\] có:

$AF = EC$ (cmt);

\[\widehat {DAF} = \widehat {DEC} = 90^\circ \];

$$AD = DE$ (vì \(\Delta ABD = \Del (ảnh 1)$

$AD = DE$ (vì $\Delta ABD = \Delta EBD$);

Do đó \[\Delta ADF = \Delta EDC\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\].

Câu 2

Cho \[a,\,\,b,\,\,c\] là ba số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện $\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{c + a - b}}{b}.$

Tính giá trị biểu thức \[B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\].

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

$\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{a + b - c + b + c - a + c + a - b}}{{c + a + b}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1$

Suy ra \[a + b - c = c\] suy ra \[a + b = 2c\];

\[b + c - a = a\] suy ra \[b + c = 2a\];

\[c + a - b = b\] suy ra \[c + a = 2b\].

\[B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right) = \frac{{a + b}}{a} \cdot \frac{{c + a}}{c} \cdot \frac{{b + c}}{b} = \frac{{2c}}{a} \cdot \frac{{2b}}{c} \cdot \frac{{2a}}{b} = 8\]

Vậy \[B = 8\].

Câu 3