Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} }}{x}\).

a) Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\) liên tục trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} =  - \frac{1}{2}\).

c) Với \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\), hàm số \(f\left( x \right) =  - \frac{x}{2}\) liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

Hàm số \(y = \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y = \sin x\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right) + \sin x\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

d) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \frac{x}{2}\;\;} \right) =  - \frac{1}{2} = f\left( 1 \right)\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.

a) Với \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right]\), \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 1\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\).

Suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \(x =  - 2\).

b) Với \(x \in \left( { - 1;1} \right)\), \(f\left( x \right) = x + 2\) liên tục trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

Suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = 0\).

c) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 1 = f\left( { - 1} \right)\); \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {x + 2} \right) = 1\].

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \(x =  - 1\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 3} \right) = 5\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \(x = 1\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;   c) Sai;    d) Sai.