Cho hình vẽ bên. Hãy chỉ ra (dùng ký hiệu):

a) Điểm \(A\) không thuộc đường thẳng nào?

b) Điểm \(D\) không thuộc đường thẳng nào?

c) Đường thẳng nào không chứa điểm \(C\)?

d) Điểm \(B\) thuộc đường thẳng nào? 

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \(A\) là phân số thì \(n + 1 \ne 0,\) hay \(n \ne - 1.\)

Vậy với \(n \in \mathbb{Z}\) và \(n \ne - 1\) thì \(A\) là phân số.

b) Ta có: \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \(A\) là số nguyên thì \(n + 1 \in \)Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ {0;\,\,\, - 2;\,\,\,1;\,\,\, - 3;\,\,\,3;\,\,\, - 5} \right\}.\)

c) Ta có: \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}}\)

Với mọi số tự nhiên \(n\) ta có \(4n \ge 0;\) \(n + 1 > 0\) nên \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}} \ge 0\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(n = 0\) (thỏa mãn).

Vậy với \(n = 0\) thì \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(0\).

Hướng dẫn giải:

a) Với \(n \ne 1,\) ta có \(\frac{{n + 13}}{{n - 1}} = \frac{{n - 1 + 14}}{{n - 1}} = 1 + \frac{{14}}{{n - 1}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \[\frac{{n + 13}}{{n - 1}}\] tối giản thì \[\frac{{14}}{{n - 1}}\] phải là tối giản, tức là \[14\] và \(n - 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ngoài các ước là \[1\] và \[14,\] thì \[14\] còn có các ước \[2;\,\,7.\]

Do đó để \(\left( {14,n - 1} \right) = 1\) thì \(n - 1\) không chia hết cho \[2\] và \(n - 1\) không chia hết cho \[7.\]

Tức là \(n - 1 \ne 2k\) (với \(k \in \mathbb{Z})\) và \(n - 1 \ne 7q\) (với \(q \in \mathbb{Z})\)

Vậy với \(n \ne 2k + 1\) và \(n \ne 7q + 1\) \[\left( {k,\,q \in \mathbb{Z}} \right)\] thì \(\frac{{n + 13}}{{n - 1}}\) là phân số tối giản.

b) Giả sử \(d\) là ước chung nguyên tố của \[\left( {18n + 3} \right)\] và \[\left( {21n + 7} \right).\]

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {18n + 3} \right) \vdots d\\\left( {21n + 7} \right) \vdots d\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}7 \cdot \left( {18n + 3} \right) \vdots d\\6 \cdot \left( {21n + 7} \right) \vdots d\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {126n + 21} \right) \vdots d\\\left( {126n + 42} \right) \vdots d\end{array} \right.\)

Do đó \(\left( {126n + 42 - 126n - 21} \right) \vdots d\) hay \(21 \vdots d\) nên \(d \in \left\{ {3;7} \right\}.\)

⦁ Với \(d = 3\) ta có \(\left( {21n + 7} \right) \vdots 3\) nên \(7 \vdots 3\) (điều này là vô lí).

⦁ Với \[d = 7\] ta có \[\left( {18n + 3} \right) \vdots 7\] nên \[\left( {18n + 3n - 3n + 3} \right) \vdots 7\] hay \[\left( {21n - 3n + 3} \right) \vdots 7\]

Tức là \[\left( {3 - 3n} \right) \vdots 7\] hay \[3\left( {n - 1} \right) \vdots 7\] nên \(\left( {n - 1} \right) \vdots 7\)

Khi đó \[n - 1 = 7k\] \[\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 0} \right)\] hay \[n = 7k + 1\] \[\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 0} \right)\]

Vậy phân số \(\frac{{18n + 3}}{{21n + 7}}\) là tối giản khi \(d \ne 7\) hay \[n \ne 7k + 1\] \[\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 0} \right).\]