Vẽ hình theo cách diễn đạt sau:

a) Vẽ ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) không thẳng hàng. Vẽ đường thẳng \(BC,\) đường thẳng \(AC.\)

b) Vẽ đường thẳng \(a.\) Lấy điểm \(M,\,\,N\) nằm trên đường thẳng \(a,\) lấy điểm \(P,\,\,Q\) nằm ngoài đường thẳng \(a.\) Vẽ đường thẳng \(MQ,\) đoạn thẳng \(NP.\)

c) Vẽ 4 điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) thẳng hàng sao cho điểm \(D\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(C,\) điểm \[B\] và điểm \[C\] nằm khác phía đối với điểm \(D.\)

d) Vẽ đường thẳng \(AB.\) Vẽ điểm \[C\]sao cho \[A\] và \[B\]nằm cùng phía với \[C.\] Lấy điểm \(D\) nằm ngoài đường thẳng \(AB.\) Kẻ đoạn thẳng \(DC,\) đường thẳng \(AD.\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \(A\) là phân số thì \(n + 1 \ne 0,\) hay \(n \ne - 1.\)

Vậy với \(n \in \mathbb{Z}\) và \(n \ne - 1\) thì \(A\) là phân số.

b) Ta có: \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \(A\) là số nguyên thì \(n + 1 \in \)Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ {0;\,\,\, - 2;\,\,\,1;\,\,\, - 3;\,\,\,3;\,\,\, - 5} \right\}.\)

c) Ta có: \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}}\)

Với mọi số tự nhiên \(n\) ta có \(4n \ge 0;\) \(n + 1 > 0\) nên \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}} \ge 0\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(n = 0\) (thỏa mãn).

Vậy với \(n = 0\) thì \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(0\).

Hướng dẫn giải:

a) Với \(n \ne 1,\) ta có \(\frac{{n + 13}}{{n - 1}} = \frac{{n - 1 + 14}}{{n - 1}} = 1 + \frac{{14}}{{n - 1}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \[\frac{{n + 13}}{{n - 1}}\] tối giản thì \[\frac{{14}}{{n - 1}}\] phải là tối giản, tức là \[14\] và \(n - 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ngoài các ước là \[1\] và \[14,\] thì \[14\] còn có các ước \[2;\,\,7.\]

Do đó để \(\left( {14,n - 1} \right) = 1\) thì \(n - 1\) không chia hết cho \[2\] và \(n - 1\) không chia hết cho \[7.\]

Tức là \(n - 1 \ne 2k\) (với \(k \in \mathbb{Z})\) và \(n - 1 \ne 7q\) (với \(q \in \mathbb{Z})\)

Vậy với \(n \ne 2k + 1\) và \(n \ne 7q + 1\) \[\left( {k,\,q \in \mathbb{Z}} \right)\] thì \(\frac{{n + 13}}{{n - 1}}\) là phân số tối giản.

b) Giả sử \(d\) là ước chung nguyên tố của \[\left( {18n + 3} \right)\] và \[\left( {21n + 7} \right).\]

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {18n + 3} \right) \vdots d\\\left( {21n + 7} \right) \vdots d\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}7 \cdot \left( {18n + 3} \right) \vdots d\\6 \cdot \left( {21n + 7} \right) \vdots d\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {126n + 21} \right) \vdots d\\\left( {126n + 42} \right) \vdots d\end{array} \right.\)

Do đó \(\left( {126n + 42 - 126n - 21} \right) \vdots d\) hay \(21 \vdots d\) nên \(d \in \left\{ {3;7} \right\}.\)

⦁ Với \(d = 3\) ta có \(\left( {21n + 7} \right) \vdots 3\) nên \(7 \vdots 3\) (điều này là vô lí).

⦁ Với \[d = 7\] ta có \[\left( {18n + 3} \right) \vdots 7\] nên \[\left( {18n + 3n - 3n + 3} \right) \vdots 7\] hay \[\left( {21n - 3n + 3} \right) \vdots 7\]

Tức là \[\left( {3 - 3n} \right) \vdots 7\] hay \[3\left( {n - 1} \right) \vdots 7\] nên \(\left( {n - 1} \right) \vdots 7\)

Khi đó \[n - 1 = 7k\] \[\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 0} \right)\] hay \[n = 7k + 1\] \[\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 0} \right)\]

Vậy phân số \(\frac{{18n + 3}}{{21n + 7}}\) là tối giản khi \(d \ne 7\) hay \[n \ne 7k + 1\] \[\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 0} \right).\]