Bạn An thả một quả bóng cao su từ độ cao 12 mét so với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao của lần rơi trước. Giả sử quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tính tổng quãng đường của quả bóng mà bạn An thả đã di chuyển (từ lúc thả bóng cho tới khi quả bóng không nảy nữa)? (tham khảo hình vẽ bên dưới).

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {3x - 2}  - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {3x - 2}  + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{3}{{\sqrt {3x - 2}  + 2}} = \frac{3}{4}\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}} \right)\)\( = \frac{1}{4}\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}} \right) = \frac{3}{4}\).

Có \(f\left( 2 \right) = \frac{3}{4}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\). Do đó hàm số liên tục tại \(x = 2\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}} \right) = \frac{3}{4}\)

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) \(f\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {8 + 1}  - 2}}{{8 - 3}} = \frac{1}{5}\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 1}  - 2}}{{x - 3}} = \frac{1}{3}\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1}  - 2}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 2}}\)\( = \frac{1}{4}\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {x + 1}  - 2}}{{x - 3}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}  - \frac{2}{x}}}{{1 - \frac{3}{x}}} = 0\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2}  - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2}  + x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}}  + 1}}\)\( = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(a = 0;b = \frac{1}{2}\). Do đó \(3a + 4b = 2\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.