Lan định đặt một bánh ga tô có dạng hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang cân, cạnh bên \(BC = 25\;{\rm{cm}}\), hai đáy \(AB = 50\;{\rm{cm}},CD = 30\;{\rm{cm}}\). Lan có ý định đặt dòng chữ “Con yêu mẹ” ở phía trên của chiếc bánh đó, nên đã nảy ra ý định cắt phần chóp của cái bánh bởi một mặt phẳng (α) song song với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) và cắt cạnh \(SO\) tại \(I\) sao cho \(\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{5}\). Tính diện tích phần mặt trên của chiếc bánh sau khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) (đơn vị diện tích cm²)? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong hình thang \(ABCD\) ở mặt phẳng đáy, gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(D,C\) lên \(AB\).

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AH = BK = \frac{{AB - HK}}{2} = \frac{{AB - CD}}{2} = \frac{{50 - 30}}{2} = 10\) (cm).

Ta có \(CK = \sqrt {B{C^2} - B{K^2}}  = \sqrt {{{25}^2} - {{10}^2}}  = 5\sqrt {21} \) (cm).

Suy ra diện tích hình thang \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right) \cdot CK}}{2} = \frac{{\left( {50 + 30} \right) \cdot 5\sqrt {21} }}{2} = 200\sqrt {21} \) (cm2).

Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là giao điểm của \(\left( \alpha  \right)\) và các cạnh \(SA,SB,SC,SD\).

Suy ra hình phẳng tạo bởi các đoạn giao tuyến chung của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) với các mặt của hình chóp là hình thang \(MNPQ\) với \(MN//PQ\).

Vì \(\left( \alpha  \right)//\left( {ABCD} \right)\) nên theo định lí Thales, ta có \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{5} \Rightarrow k = \frac{2}{5}\).

Vậy diện tích hình thang \(MNPQ\) là

\({S_{MNPQ}} = {k^2} \cdot {S_{ABCD}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} \cdot 200\sqrt {21}  = 32\sqrt {21}  \approx 147\) (cm2).

Trả lời: 147.