Cho hình chữ nhật \(OABD\), đồ thị hàm số \(y = {\log _b}x\) đi qua đỉnh \(B\), đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) cắt cạnh \[AB\] tại điểm \(C\) (tham khảo hình vẽ). Gọi \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích hình chữ nhật \(OABD\) và hình chữ nhật \(OACM\), biết tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{3}{2}\). Tính giá trị của biểu thức \({\log _b}\sqrt a \).

a) Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên tập hợp \(\mathbb{R}\).

b) \(\left( {f\left( x \right) - {5^m}} \right)\left( {25f\left( x \right) - 1} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{5^x} - {5^m}} \right)\left( {25 \cdot {5^x} - 1} \right) < 0\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} > 0\\25 \cdot {5^x} - 1 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} > {5^m}\\{5^x} < {5^{ - 2}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > m\\x <  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m < x <  - 2\) (loại).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} < 0\\25 \cdot {5^x} - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} < {5^m}\\{5^x} > {5^{ - 2}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < m\\x >  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 < x < m\).

Số nghiệm nguyên của bất phương trình là \(m + 1\).

Để bất phương trình có không quá 31 nghiệm nguyên thì \(m + 1 \le 31 \Leftrightarrow m \le 30\).

Vậy có 30 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) \(f\left( {{{\log }_5}3} \right) = {5^{{{\log }_5}3}} = 3\).

d) Ta có \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 6\)\( \Leftrightarrow {5^x} + {5^{ - x}} = 6\).

Ta có \(f\left( {2x} \right) + f\left( { - 2x} \right)\)\( = {5^{2x}} + {5^{ - 2x}}\)\( = {\left( {{5^x} + {5^{ - x}}} \right)^2} - 2 = 36 - 2 = 34\).

Đáp án: a) Sai;     b) Đúng;    c) Đúng;    d) Sai.

Ta có \(f\left( 8 \right) = 25\left( {1 - {e^{ - 0,2 \cdot 8}}} \right) \approx 20\).

Trả lời: 20.