Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 64 m xuống mặt đất. Sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên độ cao bằng \[\frac{1}{2}\] độ cao của lần rơi trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Đúng lần chạm đất thứ 7, quả bóng đã đi được tổng quãng đường dài bao nhiêu mét (bao gồm tổng quãng đường quả bóng rơi xuống và nảy lên)

Đặt \(S = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^n}\).

Dễ thấy \(S\) là tổng của \(n + 1\) số hạng đầu của một cấp số nhân với \({u_1} = 1\); \({u_2} = 2\); công bội \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2\).

Do đó \(S = {u_1}.\frac{{1 - {q^{n + 1}}}}{{1 - q}} = 1.\frac{{1 - {2^{n + 1}}}}{{1 - 2}} = {2.2^n} - 1\).

Suy ra \[\lim \frac{{1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^n}}}{{{2^n} + 1}} = \lim \frac{{{{2.2}^n} - 1}}{{{2^n} + 1}} = \lim \frac{{2 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = 2\].

b) $\left\{\begin{array}{l}M là điểm chung của \left(MCD\right) và \left(SAB\right) \\ CD \subset \left(MCD\right); AB \subset \left(SAB\right); AB // CD \end{array}\right. \Rightarrow \left(MCD\right) \cap \left(SAB\right) \Rightarrow MN // AB // CD ( N \in SA)$

c) \[\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx\,{\rm{//}}\,BC\]. Trong mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] có \[ME \cap Sx = I\].

Kẻ \[EH\,{\rm{//}}\,BC\] (\[H \in BC\]). Ta có \(\frac{{HB}}{{SB}} = \frac{{EC}}{{SC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{SM}}{{MH}} = 2 \Rightarrow \frac{{IM}}{{EM}} = 2 \Rightarrow {S_{SMI}} = 2{S_{SME}}\).

\[\frac{{{S_{SME}}}}{{{S_{SBC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SE}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{3}{4} = \frac{3}{8} \Rightarrow {S_{BCEM}} = \frac{5}{3}{S_{SME}} \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{6}{5}\].