Tính \(\lim \frac{{1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^n}}}{{{2^n} + 1}}\)

Quãng đường mỗi lần rơi xuống của quả bóng lập thành cấp số nhân có \({u_1} = 64\,;\,q = \frac{1}{2}\)

Tổng quãng đường rơi xuống sau 7 lần chạm đất của quả bóng là \({S_7} = \frac{{{u_1}.({q^7} - 1)}}{{q - 1}} = 127\) (m)

Quãng đường mỗi lần nảy lên của quả bóng lập thành cấp số nhân có số hạng đầu \({v_1} = 32\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Tổng quãng đường nảy lên 6 lần là \[{s_6} = \frac{{{v_1}.({q^6} - 1)}}{{q - 1}} = 63\] (m). Vậy tổng quãng đường là 190 (m).

b) $\left\{\begin{array}{l}M là điểm chung của \left(MCD\right) và \left(SAB\right) \\ CD \subset \left(MCD\right); AB \subset \left(SAB\right); AB // CD \end{array}\right. \Rightarrow \left(MCD\right) \cap \left(SAB\right) \Rightarrow MN // AB // CD ( N \in SA)$

c) \[\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx\,{\rm{//}}\,BC\]. Trong mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] có \[ME \cap Sx = I\].

Kẻ \[EH\,{\rm{//}}\,BC\] (\[H \in BC\]). Ta có \(\frac{{HB}}{{SB}} = \frac{{EC}}{{SC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{SM}}{{MH}} = 2 \Rightarrow \frac{{IM}}{{EM}} = 2 \Rightarrow {S_{SMI}} = 2{S_{SME}}\).

\[\frac{{{S_{SME}}}}{{{S_{SBC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SE}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{3}{4} = \frac{3}{8} \Rightarrow {S_{BCEM}} = \frac{5}{3}{S_{SME}} \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{6}{5}\].