Cho hình chóp. \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(G,\,\,M\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(SAB,\,\,ABC\).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

b) Chứng minh rằng \(MG\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

c) Tìm giao điểm \(H\) của đường thẳng \(DG\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Chọn A

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 1} \right) = 3\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\). Vì \(x \to {1^ + }\) nên \(x > 1 \Rightarrow x - 1 > 0\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \).

a) \(\lim {\mkern 1mu} \left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - 3n} \right) = \lim \,\,n\left( {\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 3} \right)\).

Vì \[\lim \,\,n = + \infty \] và \[\lim \left( {\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 3} \right) = 2 - 3 = - 1 < 0\].

Từ đó ta có \[\lim \,\left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - 3n} \right) = - \infty \].

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{9 - {x^2}}} = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \frac{{(\sqrt {x + 1} - 2)(\sqrt {x + 1} + 2)}}{{(9 - {x^2})(\sqrt {x + 1} + 2)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \frac{{x - 3}}{{(9 - {x^2})(\sqrt {x + 1} + 2)}}\)

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{(3 - x)(3 + x)(\sqrt {x + 1} + 2)}}\] \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 1}}{{(3 + x)(\sqrt {x + 1} + 2)}}\] \[ = \frac{{ - 1}}{{(3 + 3)(\sqrt {3 + 1} + 2)}} = - \frac{1}{{24}}\].

c) Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;6} \right] \Leftrightarrow \) hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {0;6} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} = f\left( 0 \right)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} = f\left( 6 \right)\).

Ta cóvà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \left( {1 + m} \right) = 1 + m = f\left( 6 \right)\).

Khi \[x \in \left[ {0;4} \right]\] thì \[f\left( x \right) = \sqrt x \] nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\).

Khi \[x \in \left( {4;6} \right]\] thì \[f\left( x \right) = 1 + m\] nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {4;6} \right)\).

Vậy, hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;6} \right] \Leftrightarrow \) hàm số liên tục tại diểm \(x = 4\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow m + 1 = \sqrt 4 \Leftrightarrow m = 1\).