Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang, đáy lớn \(AD\) gấp đôi đáy bé \(BC\). Gọi \(O = AC \cap BD,M\) thuộc cạnh \(SA\) sao cho \(AM = 2MS\) và \(N\) thuộc cạnh \(SB\) sao cho \(2BN = NS\).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

b) Chứng minh rằng \(\left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).

 

a) Xét \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\)có:

+ \(S\)là điểm chung thứ nhất

+ Trong \(\left( {ABCD} \right)\), \[AB \cap CD = I \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in (SAB)\\I \in (SCD)\end{array} \right.\]. Suy ra \(I\) là điểm chung thứ 2

Vậy \[(SAB) \cap (SC{\rm{D}}) = SI\]

b) Ta có \(AM = 2MS \Rightarrow \frac{{AM}}{{AS}} = \frac{2}{3}.\)

\(2BN = NS \Rightarrow \frac{{BN}}{{BS}} = \frac{1}{3}.\)

Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OBC\) có

\(\left\{ \begin{array}{l}AD//BC\\AD = 2BC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = 2OC\\OD = 2OB\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{AO}}{{AC}} = \frac{2}{3}\\\frac{{BO}}{{BD}} = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Trong tam giác\(SAC\) có \(\frac{{AM}}{{AS}} = \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) nên \(OM{\rm{//}}SC\)

\[\left\{ \begin{array}{l}OM//SC\\OM \not\subset (SCD)\\CD \subset (SCD)\end{array} \right. \Rightarrow OM//(SCD)\]

Trong tam giác\(SBD\) có \(\frac{{BN}}{{BS}} = \frac{{BO}}{{BD}} = \frac{1}{3}\) nên \(ON{\rm{//}}SD\)

\[\left\{ \begin{array}{l}ON//SD\\ON \not\subset (SCD)\\SD \subset (SCD)\end{array} \right. \Rightarrow ON//(SCD)\]

Như vậy,

\(\left\{ \begin{array}{l}OM{\rm{//(}}SCD)\\ON{\rm{//(}}SCD)\\OM,\,ON \subset (OMN)\\OM \cap ON = O\end{array} \right. \Rightarrow (OMN){\rm{//}}(SCD)\)