Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH.\) Gọi \(M,\;\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB,\;\,AC.\)       

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.                    b) Đúng.      c) Sai.                                    d) Đúng.

Vì \(M,\;\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB,\;\,AC\) nên \(HM \bot AB;\;\,HN \bot AC.\)

Do đó, \(\widehat {AMH} = \widehat {HMB} = \widehat {ANH} = \widehat {HNC} = 90^\circ .\)

Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(AH \bot BC.\) Suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ .\)

\(\Delta AHM\) và \(\Delta ABH\) có: \(\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = 90^\circ ;\;\,\widehat {HAM}\) chung nên  (g.g).

Do đó, ý a) đúng.

\(\Delta AHN\) và \(\Delta ACH\) có: \(\widehat {ANH} = \widehat {AHC} = 90^\circ ;\;\,\widehat {HAN}\) chung nên  (g.g).

Do đó, \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AH}}.\) Suy ra \(A{H^2} = AN \cdot AC.\)

Do đó, ý b) đúng.

Theo a) ta có:   (g.g) nên \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}.\) Suy ra \(AM \cdot AB = A{H^2}.\)

Mà \(A{H^2} = AN \cdot AC\) nên \(AM \cdot AB = AN \cdot AC.\)

Do đó, ý c) sai.

Vì \(AM \cdot AB = AN \cdot AC\) nên \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}.\)

\(\Delta ANM\) và \(\Delta ABC\) có: \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}};\;\,\widehat {NAM} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) chung nên (c.g.c).

Do đó, ý d) đúng.