Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin x + \cos x\).    

a) Điều kiện \(\frac{x}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 0\end{array} \right.\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).

b) Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^\prime }}}{{\frac{x}{{x + 1}}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{x + 1}}{x} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + x}}\).

c) \(y'\left( 3 \right) = \frac{1}{{{3^2} + 3}} = \frac{1}{{12}}\).

d) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

Do đó \(T = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2025} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}\)\( = 1 - \frac{1}{{2026}} = \frac{{2025}}{{2026}}\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Sai;       d) Đúng.

a) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 3\). Khi đó \(f'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} - 6 \cdot 1 + 3 = 0\).

b) Vì tiếp tuyến song song với trục \(Ox\) nên \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Với \(x = 1 \Rightarrow y = 0\). Khi đó tiếp tuyến là \(y = 0\) (loại).

Vậy không có tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với trục \(Ox\).

c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {2;1} \right)\) là \(f'\left( 2 \right) = 3 \cdot {2^2} - 6 \cdot 2 + 3 = 3\).

Do đó phương trình tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {2;1} \right)\) của \(\left( C \right)\) là \(y = 3\left( {x - 2} \right) + 1 = 3x - 5\).

d) Có \(f'\left( x \right) = 3\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3 = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0;2} \right\}\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Đúng;       d) Đúng.