Cho hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1. Tính diện tích tam giác tạo bởi \(d\) và hai trục tọa độ.

Với \(x \ne 1\) thì \(f\left( x \right)\) là tổng của 2019 số hạng đầu của cấp số nhân với \({u_1} = 1;q = x\) nên ta được:

\(f\left( x \right) = \frac{{1 - {x^{2019}}}}{{1 - x}} = \frac{{{x^{2019}} - 1}}{{x - 1}}\).

Khi đó \(f'\left( x \right) = \frac{{2019{x^{2018}}\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^{2019}} - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Suy ra \(f'\left( 2 \right) = \frac{{2019 \cdot {2^{2018}}\left( {2 - 1} \right) - \left( {{2^{2019}} - 1} \right)}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = 2017 \cdot {2^{2018}} + 1\).

Vậy \(a = 2017,b = 2018 \Rightarrow a + b = 4035\).

Trả lời: 4035.

Vì \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) nên \(3 = \frac{{a - 1}}{{b - 1}} \Leftrightarrow a - 1 = 3\left( {b - 1} \right) \Leftrightarrow a = 3b - 2\).

Có \(y' = \frac{{ - a + b}}{{{{\left( {bx - 1} \right)}^2}}}\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(A\left( {1;3} \right)\) là \(k = \frac{{ - a + b}}{{{{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3b + 2 + b}}{{{{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{b - 1}}\).

Vì hệ số góc nguyên dương nên \(b - 1\) thuộc vào các ước âm của −2.

Khi đó \(\left[ \begin{array}{l}b - 1 = - 1\\b - 1 = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = - 1\end{array} \right.\). Vì \(b \ne 0\) nên \(b = - 1 \Rightarrow a = - 5\).

Do đó \(T = a + 5b = - 5 + 5 \cdot \left( { - 1} \right) = - 10\).

Trả lời: −10.