Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức \(S\left( t \right) = 15 + 2\sqrt 3 \sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)\) trong đó \(s\) tính bằng centimet và \(t\) tính bằng giây. Vận tốc cực đại của hạt bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

a) Điều kiện \(\frac{x}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 0\end{array} \right.\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).

b) Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^\prime }}}{{\frac{x}{{x + 1}}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{x + 1}}{x} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + x}}\).

c) \(y'\left( 3 \right) = \frac{1}{{{3^2} + 3}} = \frac{1}{{12}}\).

d) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

Do đó \(T = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2025} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}\)\( = 1 - \frac{1}{{2026}} = \frac{{2025}}{{2026}}\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Sai;       d) Đúng.

a) Điều kiện \(x \ne 1\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

b) Ta có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là \(y'\left( 2 \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = - 1\).

Với \(x = 2 \Rightarrow y = 2\).

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = - \left( {x - 2} \right) + 2 = - x + 4\).

c) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(y = - x\) nên $\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}=-1\iff {\left(x-1\right)}^2=1\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 0\). Khi đó tiếp tuyến trùng với đường thẳng \(y = - x\) (loại).

Với \(x = 2 \Rightarrow y = 2\) thì tiếp tuyến là \(y = - x + 4\) (theo câu b).

d) Có \(f''\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\). Khi đó \(f''\left( 3 \right) = \frac{2}{{{{\left( {3 - 1} \right)}^3}}} = \frac{1}{4}\).

Đáp án: a) Sai;      b) Đúng;      c) Sai;       d) Đúng.