Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức \(S\left( t \right) = 15 + 2\sqrt 3 \sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)\) trong đó \(s\) tính bằng centimet và \(t\) tính bằng giây. Vận tốc cực đại của hạt bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

a) Điều kiện \(\frac{x}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 0\end{array} \right.\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).

b) Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^\prime }}}{{\frac{x}{{x + 1}}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{x + 1}}{x} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + x}}\).

c) \(y'\left( 3 \right) = \frac{1}{{{3^2} + 3}} = \frac{1}{{12}}\).

d) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

Do đó \(T = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2025} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}\)\( = 1 - \frac{1}{{2026}} = \frac{{2025}}{{2026}}\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Sai;       d) Đúng.

Với \(x \ne 1\) thì \(f\left( x \right)\) là tổng của 2019 số hạng đầu của cấp số nhân với \({u_1} = 1;q = x\) nên ta được:

\(f\left( x \right) = \frac{{1 - {x^{2019}}}}{{1 - x}} = \frac{{{x^{2019}} - 1}}{{x - 1}}\).

Khi đó \(f'\left( x \right) = \frac{{2019{x^{2018}}\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^{2019}} - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Suy ra \(f'\left( 2 \right) = \frac{{2019 \cdot {2^{2018}}\left( {2 - 1} \right) - \left( {{2^{2019}} - 1} \right)}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = 2017 \cdot {2^{2018}} + 1\).

Vậy \(a = 2017,b = 2018 \Rightarrow a + b = 4035\).

Trả lời: 4035.