Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức \(S\left( t \right) = 15 + 2\sqrt 3 \sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)\) trong đó \(s\) tính bằng centimet và \(t\) tính bằng giây. Vận tốc cực đại của hạt bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Cho hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1. Tính diện tích tam giác tạo bởi \(d\) và hai trục tọa độ.

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^{2018}+x^{2017}+\mathrm{...}+x^3+x^2+x+1,\left(x\ne 1\right)$. Biết \(f'\left( 2 \right) = a \cdot {2^b} + 1\). Tính \(a + b\).

Cho hàm số \(y = \frac{{ax - 1}}{{bx - 1}}\) (trong đó \(a,b\) là các số nguyên và \(a \ne b,b \ne 0\)) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Biết rằng \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) có hệ số góc là một số nguyên dương. Tìm giá trị của biểu thức \(T = a + 5b\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}2x + \cos 3x\). Tính \(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\).

Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình \(h\left( t \right) = 50 - \frac{1}{2}g{t^2}\), trong đó \(h\) là độ cao của vật so với mặt đất tính bằng mét, thời gian \(t\) tính bằng giây và \(g = 9,8\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\) là gia tốc rơi tự do. Khi đó, vận tốc của vật khi vật vừa chạm đất là \({v_1}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Tìm \(\left| {{v_1}} \right|\) (làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {x + 1} \). Khi đó \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{m}{n}\)(\(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản). Tính \(m + n\).

Cho hàm số \(y = {e^{ - x}} \cdot \sin x\). Số nghiệm của phương trình \(y'' + 2y' = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;4\pi } \right]\) là bao nhiêu?