Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức \(S\left( t \right) = 15 + 2\sqrt 3 \sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)\) trong đó \(s\) tính bằng centimet và \(t\) tính bằng giây. Vận tốc cực đại của hạt bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

a) Điều kiện \(\frac{x}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 0\end{array} \right.\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).

b) Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^\prime }}}{{\frac{x}{{x + 1}}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{x + 1}}{x} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + x}}\).

c) \(y'\left( 3 \right) = \frac{1}{{{3^2} + 3}} = \frac{1}{{12}}\).

d) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

Do đó \(T = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2025} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}\)\( = 1 - \frac{1}{{2026}} = \frac{{2025}}{{2026}}\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Sai;       d) Đúng.

a) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 3\). Khi đó \(f'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} - 6 \cdot 1 + 3 = 0\).

b) Vì tiếp tuyến song song với trục \(Ox\) nên \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Với \(x = 1 \Rightarrow y = 0\). Khi đó tiếp tuyến là \(y = 0\) (loại).

Vậy không có tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với trục \(Ox\).

c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {2;1} \right)\) là \(f'\left( 2 \right) = 3 \cdot {2^2} - 6 \cdot 2 + 3 = 3\).

Do đó phương trình tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {2;1} \right)\) của \(\left( C \right)\) là \(y = 3\left( {x - 2} \right) + 1 = 3x - 5\).

d) Có \(f'\left( x \right) = 3\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3 = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0;2} \right\}\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Đúng;       d) Đúng.