Một dao động điều hòa có phương trình dao động là $x\left( t \right) = 4\cos \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right)$, trong đó $t > 0$ là thời gian dao động và được tính bằng giây; $x\left( t \right)$ là li độ của dao động và được tính bằng centimet. Tại thời điểm lần đầu tiên vât đạt vận tốc bằng $\frac{\pi }{2}$ (cm/s) thì gia tốc của vật bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 11 Kết nối tri thức Chương 9 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vận tốc tức thời của vật là $v\left( t \right) = x'\left( t \right) = - \pi \sin \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right)$ (cm/s).

Gia tốc tức thời của vật là $a\left( t \right) = x''\left( t \right) = - \frac{{{\pi ^2}}}{4}\cos \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right)$ (cm/s²).

Ta có $v\left( t \right) = \frac{\pi }{2}\left( {{\rm{cm/s}}} \right)$$ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8k\\t = \frac{{16}}{3} + 8k\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Với $t = 8k$. Do $t > 0 \Rightarrow 8k > 0 \Rightarrow k > 0$.

Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \ge 1 \Rightarrow t \ge 8$ (1).

Với $t = \frac{{16}}{3} + 8k$. Do $t > 0 \Rightarrow \frac{{16}}{3} + 8k > 0 \Rightarrow k > - \frac{2}{3}$.

Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \ge 0 \Rightarrow t \ge \frac{{16}}{3}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra lần đầu tiên vật đạt vận tốc $\frac{\pi }{2}\left( {{\rm{cm/s}}} \right)$ tại thời điểm $t = \frac{{16}}{3}$ (giây).

Suy ra $a\left( {\frac{{16}}{3}} \right) = \frac{{{\pi ^2}\sqrt 3 }}{8}\left( {{\rm{cm/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = \frac{{2x}}{{x + 1}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 1. Tính diện tích tam giác tạo bởi $d$ và hai trục tọa độ.

Xem đáp án

Lời giải

Có $y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

Với $x = 1 \Rightarrow y = 1$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là $y'\left( 1 \right) = \frac{2}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 là $y = \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right) + 1 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

Khi đó $d$ cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A\left( { - 1;0} \right),B\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$.

Khi đó $\Delta OAB$ vuông tại $O$ và có diện tích là ${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Trả lời: 0,25.

Câu 2

Cho hàm số $f (x) = x^{2018} + x^{2017} + ... + x^{3} + x^{2} + x + 1, (x \neq 1)$ . Biết $f'\left( 2 \right) = a \cdot {2^b} + 1$. Tính $a + b$.

Xem đáp án

Lời giải

Với $x \ne 1$ thì $f\left( x \right)$ là tổng của 2019 số hạng đầu của cấp số nhân với ${u_1} = 1;q = x$ nên ta được:

$f\left( x \right) = \frac{{1 - {x^{2019}}}}{{1 - x}} = \frac{{{x^{2019}} - 1}}{{x - 1}}$.

Khi đó $f'\left( x \right) = \frac{{2019{x^{2018}}\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^{2019}} - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.

Suy ra $f'\left( 2 \right) = \frac{{2019 \cdot {2^{2018}}\left( {2 - 1} \right) - \left( {{2^{2019}} - 1} \right)}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = 2017 \cdot {2^{2018}} + 1$.

Vậy $a = 2017,b = 2018 \Rightarrow a + b = 4035$.

Trả lời: 4035.

Câu 3