Một dao động điều hòa có phương trình dao động là \(x\left( t \right) = 4\cos \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right)\), trong đó \(t > 0\) là thời gian dao động và được tính bằng giây; \(x\left( t \right)\) là li độ của dao động và được tính bằng centimet. Tại thời điểm lần đầu tiên vât đạt vận tốc bằng \(\frac{\pi }{2}\) (cm/s) thì gia tốc của vật bằng bao nhiêu?

a) Điều kiện \(\frac{x}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 0\end{array} \right.\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).

b) Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^\prime }}}{{\frac{x}{{x + 1}}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{x + 1}}{x} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + x}}\).

c) \(y'\left( 3 \right) = \frac{1}{{{3^2} + 3}} = \frac{1}{{12}}\).

d) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

Do đó \(T = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2025} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}\)\( = 1 - \frac{1}{{2026}} = \frac{{2025}}{{2026}}\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Sai;       d) Đúng.

a) \(f'\left( x \right) = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\). Khi đó \(f'\left( { - 1} \right) = \frac{5}{{{{\left( { - 1 + 2} \right)}^2}}} = 5\).

b) \(f'\left( x \right) = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

c) \(f''\left( x \right) = - \frac{{10\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^4}}} = - \frac{{10}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\).

d) Có \(f'\left( x \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\)\( \Leftrightarrow x \ne - 2\).

Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Sai;       d) Sai.