Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - 3{x^2} + 8x - 2$ có đồ thị là đường cong $\left( C \right)$.

a) Tính $f'\left( x \right)$ và giải bất phương trình $f'\left( x \right) \le 0$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta $ của $\left( C \right)$ biết rằng $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d:y = - \frac{1}{3}x + 2$ và tiếp xúc với $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ lớn hơn 2.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 11 Kết nối tri thức Chương 9 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có $f'\left( x \right) = {x^2} - 6x + 8$.

Ta có $f'\left( x \right) \le 0$$ \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 \le 0$$ \Leftrightarrow 2 \le x \le 4$.

b) Tiếp tuyến $\Delta $ của $\left( C \right)$ vuông góc với đường thẳng $d:y = - \frac{1}{3}x + 2$ nên $k \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow k = 3$.

Khi đó $f'\left( x \right) = 3$$ \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 1\end{array} \right.$.

D tiếp xúc với $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ lớn hơn 2 nên $x = 5 \Rightarrow y = \frac{{14}}{3}$.

Vậy phương trình tiếp tuyến của $\Delta $ là $y = 3\left( {x - 5} \right) + \frac{{14}}{3} = 3x - \frac{{31}}{3}$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = \frac{{2x}}{{x + 1}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 1. Tính diện tích tam giác tạo bởi $d$ và hai trục tọa độ.

Xem đáp án

Lời giải

Có $y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

Với $x = 1 \Rightarrow y = 1$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là $y'\left( 1 \right) = \frac{2}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 là $y = \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right) + 1 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

Khi đó $d$ cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A\left( { - 1;0} \right),B\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$.

Khi đó $\Delta OAB$ vuông tại $O$ và có diện tích là ${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Trả lời: 0,25.

Câu 2

Cho hàm số $f (x) = x^{2018} + x^{2017} + ... + x^{3} + x^{2} + x + 1, (x \neq 1)$ . Biết $f'\left( 2 \right) = a \cdot {2^b} + 1$. Tính $a + b$.

Xem đáp án

Lời giải

Với $x \ne 1$ thì $f\left( x \right)$ là tổng của 2019 số hạng đầu của cấp số nhân với ${u_1} = 1;q = x$ nên ta được:

$f\left( x \right) = \frac{{1 - {x^{2019}}}}{{1 - x}} = \frac{{{x^{2019}} - 1}}{{x - 1}}$.

Khi đó $f'\left( x \right) = \frac{{2019{x^{2018}}\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^{2019}} - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.

Suy ra $f'\left( 2 \right) = \frac{{2019 \cdot {2^{2018}}\left( {2 - 1} \right) - \left( {{2^{2019}} - 1} \right)}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = 2017 \cdot {2^{2018}} + 1$.

Vậy $a = 2017,b = 2018 \Rightarrow a + b = 4035$.

Trả lời: 4035.

Câu 3