Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh bên bằng \(2a\), cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

a) \({S_{ABCD}} = {a^2}\).

b) Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

c) Ta có \(AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta SOA\) vuông tại \(O\), \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {4{a^2} - \frac{{2{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\).

Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt {14} }}{2} \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt {14} }}{6}\).

d) Vì \(P\) là trung điểm của \(SA\) nên \(d\left( {P,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}SO\).

\({S_{AOB}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}}\).

Do đó \({V_{P.AOB}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}SO \cdot \frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;    c) Đúng;     d) Đúng.