Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Góc tạo bởi \(SC\) và mặt phẳng đáy bằng \(45^\circ \).

a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA\).

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Khi đó \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA} = 45^\circ \).

Có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \).

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), \(SA = AC \cdot \tan \widehat {SCA} = a\sqrt 2 \cdot \tan 45^\circ = a\sqrt 2 \).

b) Theo câu a, \(\widehat {SCA} = 45^\circ \).

c) Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).

d) \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\) mà \(BD \bot AC\) (do \(ABCD\) là hình vuông) nên \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;    c) Đúng;     d) Đúng.