Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a,AC = \sqrt 3 a,SA = 2a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(\alpha \)là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).

a) \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt 3 a = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).

b) Có \[SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC\] mà \(AB \bot AC\) nên \(AC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AC \bot SB\).

c) Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Khi đó \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 a}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {SCA} \approx 49,1^\circ \).

d) Hạ \(AH \bot BC\) (1).

Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\] (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\).

Do đó \(\widehat {SHA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\).

Xét \(\Delta SHA\) vuông tại \(A\), \(\tan \alpha = \tan \widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{2a}}{{\frac{{\sqrt 3 a}}{2}}} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;    c) Sai;     d) Sai.